Unicité pour une équation différentielle

dedekind93
dedekind93
dans Analyse
Bonjour à tous.
Si $f,g\in\mathscr{C}^2(\mathbb{R})$ sont deux fonctions solutions d'une même équation différentielle $xy''(x)+b(x)y'(x)+c(x)y(x)=0$ sur $\mathbb{R}_+^*$ ($b,c$ continues) avec $f(0)=g(0)$ et $f'(0)=g'(0)$, ai-je raison de dire que $f=g$ sur $\mathbb{R}_+$ ?
Si oui, est-il possible d'invoquer un "raffinement pas trop compliqué" du théorème de Cauchy-Lipschitz ?
Merci !

Réponses

  • AlainLyon
    AlainLyon
    Oui car l'équation différentielle est linéaire singulière régulière en $0$.
  • Poirot
    Poirot
    @AlainLyon: Tu aurais répondu "oui", tu aurais apporté autant d'information à dedekind93. Peux-tu élaborer pour lui ?
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Non. Un contre-exemple est donné par $b=-1$, $c=0$, $f=0$ et $g:x\mapsto x^2$.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Ce n'est pas si clair pour moi. L'équation est singulière en $0$ et les conditions initiales sont justement données en $0$... Ce n'est même pas évident que ce soit bien défini !
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Faire le changement de fonction inconnue $y=x^\lambda z$ avec $\lambda$ bien choisi.
  • dedekind93
    dedekind93
    Merci à tous. Donc la réponse est bien non d'après l'exemple de Calli. Je pensais pouvoir m'en sortir ainsi vis-à-vis de l'équation de Bessel $xy''+y'+xy=0$ pour montrer que les formes série et intégrale de $J_0$ (toutes deux facilement solutions de l'équation differentielle) sont égales. C'est raté (il y a d'autres méthodes mais j'aurais trouvé cela plutôt rapide !). Merci encore.
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