Modèle d'un $K$-schéma

Bonsoir

Soit $ R $ un anneau de valuation discrète.
Soit $ K $ le corps des fractions de $ R $.
Soit $ \pi $ l'uniformisant de $ R $.
Soit $ k = R / ( \pi ) $ le corps résiduel de $ R $.

Je cherche un exemple de $ R $, et de $ K $-schéma algébrique $ V $, où, $ X \to \mathrm{Spec} (R) $ est son modèle comme défini ici, https://stacks.math.columbia.edu/tag/0C2R , en déterminant son fibre générique, $ X_{ \displaystyle K } $, et son fibre spéciale $ X_{ \displaystyle k } $.

Pourquoi $ R = \mathbb{Z}_{(p)} $ le localisé de $ \mathbb{Z} $ en l'idéal premier $ (p) $, où $ p $ est nombre premier, est un anneau de valuation discrète ? Quel est son uniformisant ? Quelle est sa valuation ? Pourquoi elle est discrète ?
Merci d'avance.