Vos exercices originaux préférés
Réponses
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Bonjour !
Petit exo.
si pour tout $n$
\[f^{n}(0)=\frac{1}{B_{n+1}(1-2^{n+1})}\] à combien est égal
\[\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}f(n)\quad
?
\] A i puissance 4!Je suis donc je pense -
L'exercice est de trouver l'énoncé ou la solution ?
Bon dimanche,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
La solution bien sûr ! (à combien est égal...)
A i puissance 4Je suis donc je pense -
Qui est $B_{n+1}$ : Bernoulli ? Bell ? Bérurier (:P) ?
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Bernouilli!Je suis donc je pense
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Démontrer que pour tout $x \ne 0 \mod \dfrac \pi 2$ :
$$\sin^2(x)\tan^2 (x)+\cos^2 (x)\cot^2 (x) \ge 1$$ -
Une façon peu intéressante de s'y prendre consiste à poser $A=\sin^2x$ et à constater que l'inégalité équivaut à $A^3+(1-A)^3\ge A(1-A)$, ou encore à $1\ge 4A(1-A)$ (*), ce qui est bien connu pour $A\in[0,1]$.
De plus, il y a égalité si et seulement si $A=1/2$, i.e. $x=\pi/4\mod{\pi/2}$.
Edit: (*) ou bien, comme dit Dom, $(2A-1)^2\ge0$. -
Bien vu !
Le cas d'égalité peut mettre sur la voie d'une résolution plus expéditive... -
Une petite extension du problème du point de Fermat :
1) Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe du plan euclidien. Déterminer les positions de $M$ qui minimisent $MA+MB+MC+MD$.
2) Généralisation à un polygone $A_{1} \ldots A_{n}$ convexe, $n \ge 3$.
PS: je n'ai pas réfléchi à la question! -
En exprimant $\tan$ et $\cot$ en fonction de $\cos$ et $\sin$ l'inégalité proposée par Blaise est équivalente à $\sin^6x+\cos^6x\geq\sin^2x\cos^2x$ donc aussi, en utilisant $\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x+\cos^4x-\sin^2x\cos^2x)$, à $(\sin^2x-\cos^2x)^2\geq0$ .
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Bravo !
Dans le même style, pour $a>0$ et $b>0$, montrer que :
$$\sqrt a + \sqrt b \le \dfrac {a}{\sqrt b} + \dfrac {b}{\sqrt a}$$ -
Bonjour,
par équivalences de l'inégalité on arrive à
(a-b) rac(b)<= (a-b) rac(a)
ce qui est toujours vrai de par la croissance de la fonction racine, si a>b ou si a<b
Cordialement -
J'ai fait comme Mathurin: on se ramène à $(a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})\geq 0$, et on conclut avec la croissance de la racine (ce qui donne aussi le seul cas d'égalité: $a=b$). Il y a une plus jolie façon de faire peut-être ?
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Bien vu !
On peut également conclure directement grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à deux couples de réels bien choisis. -
Infaisable.
- Une carte n'est valide que si elle indique le nord.
- Une carte n'est valide que si elle indique l'échelle.
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Pour le nord on s’en fiche un peu il me semble. Après, on se doute bien qu’il s’agit de mètres mais ce qui m’ennuie en revanche c’est qu’il y a pas mal de données inutiles qui peuvent embrouiller. Rien ne dit que les coureurs vont rester sur le même couloir (présence de beaucoup d’autres coureurs par exemple).’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
Mikhaïl Jvanetski. -
L'objectif est de faire réfléchir les élèves. Et pourquoi pas de discuter au passage sur la nécessité de ne pas oublier l'unité lorsqu'ils font un plan.
Le plan a été pris sur un site officiel d'athlétisme; l'objectif étant de confronter l'élève avec des données réelles (plus intéressantes que "le toit de la maison de Martin a la forme d'un triangle isocèle rectangle"... ben voyons !)
Effectivement il y a des choix de modélisation à faire. On peut supposer par exemple que les coureurs courent à la corde.... et la calculer.
Il n'y a pas d'autres coureurs, il s'agit d'une séance d'entraînement. -
@ Id Est
Pour un quadrilatère convexe c'est trivial. Pour un quadrilatère concave simple ce n'est pas difficile.
Après, ma foi, faut voir...
Mais à mon avis c'est très intéressant. -
Il est très bien ton exercice. Je regrette juste que les 2 comparses se fassent la bise en pleine ligne droite, plutôt que sur un demi-cercle, auquel cas, les élèves auraient senti la supériorité écrasante des radians sur les degrés. Degrés encore trop utilisés en troisième. :-)
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Au sujet des degrés :
Ce n’est pas qu’un truc pour collégiens. Beaucoup de professionnels utilisent les degrés et non le radian.
C’est culturel mais j’imagine aussi que c’est plus parlant d’avoir une mesure qui balaye « des nombres ni trop grands ni trop petits ».
Cela dit ça n’enlève pas le fait qu’on pourrait introduire le radian au collège.
Je ne sais pas s’il on aurait une véritable plus-value... -
Dans le cadre ci-dessous, écrire en capitales les lettres de l’alphabet qui ont un centre de symétrie mais pas d’axe de symétrie.
Tracer le centre de symétrie en rouge.
L’exercice est présenté comme ça :Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Bonjour,
Ce n'est pas une bonne idée de séparer ce dernier énoncé des réponses qui sont parties ailleurs.
Cordialement,
Rescassol -
En effet il y a eu du ménage ?
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On ne va pas chipoter pour si peu.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
C’est une histoire de police de caractère, voyons !
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bonjour les modérateurs
pourquoi est-ce que ma réponse d'hier au pb de nicolas.patrois a été effacée ? -
Bonsoir Minmaxou
Suite au déplacement en arithmétique d'un message de Cidrolin précédant ta réponse, celle-ci a été séparée de la question à laquelle elle répondait. Il était alors compliqué de tenter de la réintroduire à sa bonne place, d'autant que ta réponse avait maladroitement incité certains à dériver hors sujet.
Excuse-moi donc de n'avoir pas passé un bon quart d'heure pour rétablir l'ordre des messages et réintégrer ta réponse qui était exactement "N S et Z ? ".
AD -
Bonjour,
Ah c'est donc en arithmétique qu'est allé se cacher l'exercice amusant de Cidrolin. J'avais regardé s'il n'avait pas été déplacé au sein du sous-forum pédagogie, mais je ne l'avais pas trouvé. Du coup, je mets le lien pour que les autres puissent trouver facilement ce nouveau fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,2205906. -
ok AD merci pour ta réponse, on t'excuse.
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Niveau collège : dire si, oui ou non, chaque nombre est un multiple de 9 :
$$666 \\
555 \space 555 \\
444 \space 444 \space 444 \\
333 \space 333 \space 333 \space 333 \\
222 \space 222 \space 222 \space 222 \space 222 \\
111 \space 111 \space 111 \space 111 \space 111 \space 111$$ -
les multiples de 9 sont
666
444 444 444
333 333 333 333
111 111 111 111 111 111
(:P)Je suis donc je pense -
Voici un exercice que je donne régulièrement, qui n'a rien de vraiment difficile, que je n'ai jamais vu écrit tel quel, mais qui ne peut pas être original, et que j'apprécie pour sa valeur pédagogique.
Version L1/PMSI. Déterminer l'image de l'application $f$ : $\R^2 \longrightarrow \R^2$, $(x,y)\mapsto (x+y ,xy)$, et la dessiner.
Version M1. Soit $f$ : $\R^2 \longrightarrow \R^2$, $(x,y)\mapsto (x+y ,xy)$. Déterminer les points de $\R^2$ où $f$ est un difféomorphisme local. Soit $U=\{ (x,y)\in \R^2\mid x >y\}$. Montrer que $f$ induit un ${\mathcal C}^\infty$-difféomorphisme de $U$ sur son image, que l'on déterminera. -
La version L1/MPSI a déjà été donnée comme oral de concours (donc en fin de 2ème année !)
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Si la première image est la représentation graphique de l'identité du plan complexe, alors la seconde est la représentation graphique de ton application de $\mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}$. N'est-ce pas ?
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Je ne sais pas lire ces représentations. Comment fonctionnent-elles ?
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A priori, c'est juste le plan complexe.
Au centre, le point d'affixe 0. La teinte est fixée par l'argument du nombre complexe (avec une échelle donnée à droite). Et la saturation est fixée par le module.
Au final, la position donne le nombre complexe antécédent, et la couleur le nombre complexe image.
Il est souvent utile d'avoir la représentation de l'identité pour bien comparer.
Exemple : sur la représentation de l'identité, on reconnaît le trait cyan des réels négatifs. Il se retrouve à l'horizontal et à la vertical, sur la représentation de l'application. Ce n'est pas étonnant, si on pense, avec z=a+ib, aux cas a=0 ou b=0. De la même façon, on n'est pas surpris par la symétrie par rapport à la première bissectrice.
Autre exemple : un polynôme et ses 3 racines (points blancs) -
Je me risque à une solution de l'exo de P.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2176002,2176690#msg-2176690
Supposons qu'il y ait une solution. Alors puisque $0\leq x_n \leq u_n$ pour tout entier $n$, on en déduit que $x_n$ tend vers $0$.
Nous avons, pour tout entier $n$, $x_{n+1}=u_n-x_n$ et donc, en multipliant par $(-1)^{n+1}$ et en sommant de $n=0$ à $n=N-1$, il vient pour tout $N \in \N^*$ :
$(-1)^N x_N=\sum_{n=0}^{N-1} (-1)^{n+1} u_n+x_0$.
En passant à la limite, on voit que s'il y a une solution, $x_0$ est uniquement déterminé, et donc toute la suite $(x_n)_n$. -
ce n'est pas faux
Je suis donc je pense -
Bonjour à tous. Suite au joli exercice de Chaurien, je me demandais s'il existait des evn pour lesquels tous les points de la sphère unité sont milieux d'un segment d'extrémités distinctes sur la sphère unité. Dans $\mathbb{R}^2$ euclidien c'est toujours impossible, dans $\mathbb{R}^2$ muni de $\|.\|_\infty$ c'est possible mais pas pour tous les points (pas pour $(1,1)$ par exemple). Merci !
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Soit $E=\R^{(\N)}$ l'espace des suites réelles (muni de la norme infini) nulles à partir d'un certain rang, alors tout point de la sphère unité $S$ est milieu de points distincts de la sphère $S$. $E$ n'est pas complet cependant.
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En effet soit $(u_n)$ appartenant à $S$, soit $k\in \N$ tel que $u_k=0$, soit $(v_n)$ définie par $v_n=u_n$ si $n \neq k$ et $v_k=1/2$. De même soit $(w_n)$ définie par $w_n=u_n$ si $n \neq k$ et $w_k=-1/2$. Alors $(v_n)$ et $(w_n)$ appartiennent à $S$ et $(v_n) \neq (w_n)$ et $u_n=(v_n+w_n)/2$, pour tout $n$.
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On peut choisir l'espace $F$ des suites réelles tendant vers $0$, muni de la norme infini. Il est complet et vérifie bien la propriété.
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@dedekind93: la réflexivité éventuelle et le théorèmes de Krein-Milman et de Kakutani (la boule unité d'un espace réflexif est faiblement compacte) vont créer des problèmes (mais ils réduisent l'espace de recherche du contre exemple).
Prenons $L^1(\R)$ (pour a mesure de Lebesgue $\mu$).
Soit $f \in L^1(\R)$ telle que $\int |f|=1$. Alors $f$ n'est pas identiquement nulle, il existedonc $r>0$ et $A\subseteq \R$ mesurable tel que $0<\mu(A)<+\infty$ et (quitte à changer $f$ en $-f$) $f(x)\geq r$ pour tout $x\in A$.
En exploitant le fait que $t\in \R\mapsto \mu\left ( ]-\infty, t[ \cap A \right )= \int_{\R} \mathbf 1_{A\cap ]-\infty, t[}$ est continue (par convergence dominée), on peut partitionner (valeurs intermédiaires) $A$ en deux parties mesurables $B,C$ telles que $\mu(B)=\mu(C)=\frac 1 2 \mu(A)$. On pose alors $g:= f+r \mathbf 1_B - r \mathbf 1 C$, $h:= f-r \mathbf 1_B + r \mathbf 1 C$. alors $g,h$ sont sur la sphère unité comme $f$, et $f$ est leur milieu.
EDIT: grillé par marco (:P)Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Très bien ! Merci beaucoup à tous les deux !
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