Ramification dans une extension abélienne

Je fais face à l'exercice suivant en théorie algébrique des nombres.

Pour une extension abélienne $K/\Q$, on définit $n$ le plus petit entier tel que $K\subset \Q(\zeta_n)$. Montrer que $p$ se ramifie dans $K/\Q$ si et seulement si $p$ divise $n$.

J'ai réussi à démontrer $\Rightarrow$. Pour la direction $\Leftarrow$, j'avais l'idée suivante.

On a la tour $\Q\subset K\subset \Q_p(\zeta_n)$. Soit $\mathfrak{q}\mid p$ dans $\Q(\zeta_n)$ et soit $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap \mathcal{O}_K$. L'extension étant galoisienne, toutes les extensions sont galoisiennes, donc les idéaux premiers sont isomorphes. On peut donc parler de $e_p(K/\Q)$ au lieu de $e_{\mathfrak{q}}(K/\Q)$.

Quitte à compléter les corps (le complété de $\Q(\zeta_n)$ par rapport à $\mathfrak{q}$ est $\Q_p(\zeta_n)$, je note $K_{\mathfrak{p}}$ le complété de $K$ par rapport à $\mathfrak{p}$), ce qui ne change pas les indices de ramification, on peut donc supposer que l'on est dans le cas local.

On a une tour $\Q_p\subset K_{\mathfrak{p}}\subset \Q_p(\zeta_n)$ et on sait que $p\mid n$. On veut montrer que $e(K_{\mathfrak{p}}/\Q_p)>1$.

Soit $n=p^k n'$ avec $p\nmid n'$. Alors, l'extension $\Q_p\subset \Q_p(\zeta_{p^k})$ est totalement ramifiée d'indice de ramification $p^{k-1}(p-1)$ et $\Q_p(\zeta_{p^k})\subset \Q_p(\zeta_n)$ est non ramifiée. On en déduit que $\Q_p\subset \Q_p(\zeta_n)$ est ramifiée.

Or, maintenant je suis coincé. Comment je peux conclure maintenant que $\Q_p\subset K_{\mathfrak{p}}$ est ramifiée ? Je pense qu'on ne sait rien sur l'extension $K_{\mathfrak{p}}\subset \Q_p(\zeta_n)$.

Comme toujours, toute aide est la bienvenue.