Exercice probabilité

Il te faut le demontrer separement dans les deux cas 1) $F$ est sans atomes, 2) $F$ n'a que des atomes. Dans le premier cas $U=F(X)$ est uniforme sur $[0,1]$ donc de moyenne $1/2$. Dans le cas 2) alors $$X\sim \sum_{x}p_x\delta_x\Rightarrow \Pr(X\leq x)=\sum_{y\leq x}p_y \Rightarrow \sum_x p_x\Pr(X\leq x)= \sum_{x\leq y } p_xp_y$$$$=\frac{1}{2}\sum_{y,x}p_y p_x+\frac{1}{2}\sum_{x} p^2_x=\frac{1}{2}(\sum_y p_y)^2+\frac{1}{2}\sum_{x} p^2_x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{x} p^2_x.$$ Pour passer au cas general soit $\lambda\in [0.1]$ la masse totale des atomes. Alors
$F=(1-\lambda)F_c+\lambda F_a$ avec $F_c$ fonction de repartion sans et $F_a$ purement atomique. Et l'esperance d'une somme est la somme des esperances n'est ce pas?

P. le bourrin et alea l'astucieux.

Un atome de la loi de $X$ est un point de discontinuite $x_0$de la fonction de repartition $F(x)\Pr(X\leq x).$ Sa masse est $p_{x_0}=F(x_0)-F(x_0-)$ avec la notation classique $F(x_0-)=\lim_{\epsilon \to 0}F(x_0-\epsilon).$ Soit $D$ l'ensemble des atomes. Soit $Y\sim X$ independante de $X$ , $A=\{X=Y\}$, $B=\{X=Y\in D\}$ et $C=A\setminus B.$ Alors
$$\Pr(B)=\sum_{x_0\in D}\Pr(X=Y=x_0)=\sum_{x_0\in D}\Pr(X=x_0)\Pr(Y=x_0)=\sum_{x_0\in D}p_{x_0}^2.$$ Pour voir que $\Pr(C)=0$ c'est plus complique. Montrons le d'abord dans le cas $D=\emptyset.$ Dans ce cas $U=F(X)$ et $V=F(Y)$ sont independantes et de loi uniforme sur $[0,1]$ et donc la loi jointe de $(U,V)$ est uniforme sur le carre $[0,1]^2.$ Comme $F$ est continue $C=\{U=V\}$ et la masse de la diagonale du carre est nulle (recouvrir cette diagonale par une reunion de $n$ carres de cotes $1/n$ pour voir que la mesure de Lebesgue de cette diagonale est $\leq 1/n$). Pour passer au cas general ou $D$ n'est pas vide il faut faire un conditionnement avec $F_1(x)=\Pr(X\leq x| X\notin D)$ pour se ramener au cas $D$ vide.

'Avec le covid, et surtout mon âge qui ne fait qu'augmenter, je ne sais plus trop comment m'y prendre'