Variétés algébriques

christophe c
christophe c
dans Algèbre
Petit manque culturel de ma part que je souhaite réparer. Je vais affirmer un truc, et ma question est : "on est bien d'accord que c'est prouvé depuis longtemps ?" (je ne demande pas de preuve)

Soit $f: \C^n \to \C^p$ une application affine.
Soit $X$ une partie de $\C^n$ définie comme ensemble des zéros communs à une liste de polynômes.
On dote $\C^p$ de sa topologie usuelle et note $Y:=$ l'image directe de $X$ par $f$.

Êtes-vous d'accord que, forcément :
$$
interieur(Y)\neq \emptyset\ \Longrightarrow\ Y=\C^p

$$ Merci d'avance.
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Réponses

  • Nicolas H
    Nicolas H
    Non. Tu peux regarder $(x,y) \mapsto (x,xy)$ dont l'image est $\mathbb C^2$ privé d'une demi droite.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Nicolas H : pas très affine tout ça ;-)

    Christophe: non quand même : $n=2, p=1$, $f$ la projection sur la première coordonnée, $X = \{(x,y)\mid xy = 1\}$
  • Nicolas H
    Nicolas H
    Oooops, bien vu Maxtimax !
  • christophe c
    christophe c
    Ah merci!!!
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  • christophe c
    christophe c
    Sur la pointe des pieds au cas où ce serait encore "trivial", je demande si ça devient vrai avec le changement

    $<< \C^p\setminus Y$ d'intérieur vide$>>$ à la fin au lieu de $Y=\C^p$?

    Merci d'avance (je me connecte erratiquement).
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  • Nicolas H
    Nicolas H
    Je pense que c'est ok comme ça, ça doit découler du théorème de Chevalley qui dit que l'image d'un ensemble constructible par un morphisme algébrique est un ensemble constructible.
  • Foys
    Foys
    On peut sans perdre de généralité supposer que $f$ est linéaire (translations) mais surtout est une projection de $\C^{p+q}$ vers $\C^p$ (en composant à gauche et à droite $f$ avec des isomorphismes linéaires; noter que $f$ est surjective puisque son image est supposée d'intérieur non vide).

    Bref $f=(x_1,...,x_p,y_1,...,y_q)\mapsto (x_1,...,x_p)$.
    Montrons par l'absurde la densité de $f(X)$. Supposons qu'il existe un ouvert $V$ de $\C^p$ ne rencontrant pas l'image de $X$ par $f$. Soient $P_1,...,P_k$ des polynômes tels que $X=\{t \in \C^{p+q}\mid \forall i = 1,...,k,P_i(t)=0\}$.
    (EDIT) L'argument suivant ne marche que pour $k=1$. Voir aussi la remarque de Maxtimax plus bas.
    Soit $i\in \{1,...,k\}$.
    Alors pour tous $y_1,...,y_q\in \C$ et tout $x=(x_1,...,x_p)\in V$, $$P_i(x_1,...,x_p,y_1,...,y_q)\neq 0 \tag 1$$ Il existe une famille $(a_u)_{u \in \N^q}$ d'éléments de $\C[X_1,...,X_p]$ ayant un nombre fini de termes non nuls et telle que $P_i = \sum_{u\in \N^q} a_u(X_1,...,X_p)Y_1^{u_1}Y_2^{u_2}...Y_q^{u_q}$.
    Soit $x\in V$, alors $(1)$ se réécrit en $$\forall y\in \C^q, \sum_{u\in \N^q} a_u(x_1,...,x_p)y_1^{u_1}y_2^{u_2}...y_q^{u_q} \neq 0\tag 2$$ Or un polynôme non constant complexes a toujours au moins un zéro (d'Alembert Gauss se généralise trivialement aux dimensions supérieures; il suffit de fixer toutes les coordonnées sauf une dans un terme non nul du et de degré non nul du polynôme considéré).
    Donc finalement, pour tout $u\in \N^q\backslash \{(0,0,...,0)\}$, on a $a_u(x_1,...,x_p)=0$. Et comme ceci est vrai pour tous les éléments $(x_1,...,x_p)$ d'un ouvert non vide, $a_u=0$ pour tout $u\in \N^q\backslash \{(0,0,...,0)\}$ et finalement, $P_i=a_0(X_1,...,X_p)$ avec $a_0\neq 0$.
    $Y$ est alors l'ensemble des zéros de $a_0$. comme il contient un ouvert non vide, $a_0=0$ ce qui est une contradiction.

    Donc l'image de $X$ par $f$ est dense dans $\C^p$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    GRAND MERCI À TOI FOYS!

    Et merci à tous.
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  • christophe c
    christophe c
    C'est marrant parce que j'aurais pu formuler autrement par élimination des quantificateurs. Bon mais c'est fait.

    Du coup en "passant au projectif" l'énoncé initial est vrai (j'essaierai de préciser d'un pc).
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  • christophe c
    christophe c
    Idem d'ailleurs pour le théorème des zéros. Au projectif on peut retirer "fini" c'est assez fascinant.
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    Foys : attention, petite coquille sur la fin puisque tu as fixé $i$, de sorte que $Y$ n'est pas exactement le lieu d'annulation de $a_0$.
    Cela ne change rien à la preuve évidemment (ledit lieu d'annulation contient $Y$)
  • Foys
    Foys
    @Maxtimax après réflexion je ne vois pas comment rattraper cette erreur (sauf à invoquer des outils lourds comme https://fr.wikipedia.org/wiki/Partie_constructible mais on sort de l'esprit du fil je pense).
    Le résultat va être vrai pour l'ensemble des zéros d'un seul polynôme (son image est dense ou bien d'intérieur vide). Il faudrait montrer un cas particulier du théorème de Chevalley dans le genre de "l'image de l'ensemble des zéros par une application linéaire (en l'espèce) d'un polynôme est d'intérieur vide, ou bien contient un ouvert de Zariski" (comme ça on peut prendre l'intersection).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Foys : Ah oui tu as raison j'avais mal repéré que tu utilisais aussi ça pour ton (1)
  • christophe c
    christophe c
    Ah donc c'est vrai mais difficile à prouver. Merci!
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  • christophe c
    christophe c
    Pour une preuve c'est conséquence triviale de l'élimination des quantificateurs et du fait que la moindre contrainte écrite avec = est d'intérieur vide ce qui entraîne que l'ensemble Y s'écrit comme intersection finie de complémentaires de variétés algébriques chacune d'intérieur vide. De mon téléphone.

    Pardon de vs avoir du coup posé la question mais en fait la densité est venue après.



    Grand merci à vous.
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  • Foys
    Foys
    Les géomètres algébristes utilisent le théorème de Chevalley à la place de l'élimination des quantificateurs pour ces sujets. Mais je pense qu'il y a une preuve élémentaire ici (à trouver!!).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    Pour IC l'élimination des quantificateurs est triviale, c'est pour IR qu'elle ne l'est pas.

    Quand tu as un "il existe" suivi d'une conjonction d'égalités et une différence ,

    Comme étant donné P, Q tu peux démultiplier les cas selon nul ou pas nul des coefs mais chaque fois obtenir P = AQ+B avec deg B < deg P,

    La conjonction P=0 et Q=0 revient à

    Q=0 et B=0

    De sorte qu'il n'existe pas de plus petite configuration pour laquelle il est pas propositionnellement décidable que c'est vrai en fonction des autres lettres que x.

    Le fait de traiter les "il existe suivie de conjonctions" suffit (exercice).

    De mon téléphone.

    Je vais Google "Chevaley"

    Merci!!
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    Christophe: l'élimination des quantificateurs ne suffit pas à obtenir ce résultat, puisqu'il n'est pas vrai sur $\mathbb R$.
  • Foys
    Foys
    Maxtimax: je pense que Christophe fait référence à la théorie des corps algébriquement clos (écrite avec les 4 opérations et l'égalité pour seule relation). Pour la théorie des corps réels clos, il faut rajouter le symbole d'inégalité et on n'est plus dans la géométrie algébrique pure et dure (mais dans la géométrie algébrique dite réelle).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Foys : Ah oui j'oubliais que pour $\mathbb R$ il fallait des inégalités, merci !
  • christophe c
    christophe c
    @Max, Foys te dit exactement ce qu'il faut (ou suffit :-D )

    1/ La théorie de $(\R,+,\times, =,>)$ élimine les quantificateurs

    2/ La théorie de $(\C,+,\times, =)$ élimine les quantificateurs


    3/

    (1) est difficile mais bien documenté (GBZM a posté plusieurs fois une preuve)

    (2) est "trivial" entre guillemets, car ne nécessite ni outils, ni inspiration. Cela est dû au fait que (je récris au fond ce que j'ai écrit précédemment, mais de mon pc, ce sera quand-même plus respectueux) :

    3.1/ $\forall \forall \exists \forall \exists \exists ...... \forall \exists \forall \exists .. \exists P$ se met sous la forme

    $\forall \forall \exists \forall \exists \exists ...... \forall \exists \forall \exists .. \exists (A_1\vee .. \vee A_k)$

    où les $A_i$ sont des conjonctions d'égalités et de différences

    3.2/ $x\neq 0$ et $y\neq 0$ se dit $xy\neq 0$.

    3.3/ $\exists x(U_1\vee .. U_p) = (\exists xU_1)\vee (\exists xU_2) \vee .. (\exists xU_p)$


    3.4/ On a donc qu'à traiter :

    $$ \exists x: P_1=0\wedge P_2=0\wedge .. \wedge P_n=0\wedge Q\neq 0$$

    3.5/ Tant qu'il reste plusieurs $P_i$ de dégré non nul, on peut descendre un des degrés par le début d'une division euclidienne qui fait sauter un exposant à baisser

    3.6/ Si seul $P_1$ a un degré 1 et les autres nul, il reste donc fondamentalement à traiter l'énoncé:

    $$ \exists x: P_1(x)=0\wedge Q(x)\neq 0$$

    ce qui se fait trivialement ($Q(FractionSolutionDeP)=0$)

    3.7/ Evidemment tu vas (pourrais ) me dire que pour "commencer" à diviser $aX^9$ par $bX^7+X$ par exemple, il faut savoir si oui ou non $b=0$. Mais en fait, tu fais par cas:

    Cas2365874132685 : $b=0$ et partir vers d'aures cieux

    Cas 2365874132686: $b\neq 0$ et regarder $abX^9$ ainsi que $abX^9+aX^3$, les soutraire blabla..

    Le nombde de cas est fini, à la fin tu obtiens une jolie phrase sans quantificateur plus longue que l'univers :-D
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  • christophe c
    christophe c
    @Max pour $\R$ c'est assez long et technique, mais GBZM a mis un pdf sur le forum (et même plusieurs je crois car j'étais hermétique (et je le suis hélas toujours par dyscalculie)).

    Mais je crois que "à la main" c'est dû au fait qu'on peut étudier des tableaux de variation emboités et que ça n'échoue jamais à donner la réponse. Mais je n'ai jamais construit de "réelle" aptitude à le capter et le résumer en français.
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  • christophe c
    christophe c
    A ce propos, puisque j'ai obtenu ma réponse, je mets une question un peu "à part" du sujet.

    Existe-t-il une fonction récursive totale $f$ telle que pour toute phrase (sans paramètres) $P$ :

    $$[(\R,+,\times, \N) \models P] \iff [(\C,+,\times, \N) \models f(P)]$$

    Je référence la question dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,2206432#msg-2206432
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  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone

    En fait, je crois que le principe dont je parle marche aussi pour les corps réels clos. (Baisse des degrés jusqu'à 1)

    Cela provient que le " exists x" peut se partager en 3:

    Pour les x>0
    Pour les x<0
    Pour 0

    Du coup on peut multiplier par une puissance de x pour réussir à faire baisser les degrés qu'on veut.

    Par exemple la condition

    P>0 et Q>0 avec P,Q tous 2 de degré 9, se transformera en condition avec un seul degre9 et un degré plus petit.

    Idem une condition du style

    P=0 et Q>0 est chiante quand deg P dépasse deg Q.

    Mais en multipliant par une puissance de x, on fait sauter ce verrou.

    Bon cela dit il y a sûrement des hic car je crois me rappeler qu'on avait besoin de dériver dans le doc de GBZM
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  • christophe c
    christophe c
    Ah si si c'est bon.

    On se sert de la dérivée pour quand il n' a qu'un seul P et qu'on demande si P<0 est possible.

    On divise P par P'

    P= AP' + B

    Et on demande si P' =0 et B<0 est possible.

    Bon en cas de n polynômes il fait écrire n! cas

    Mais sur le principe je pourrai écrire un plan en français.
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  • christophe c
    christophe c
    Précision de mon pc : j'essayais (et je pense avoir réussi) à me trouver une "preuve personnelle" de l'élimination des quanteurs pour les corps réels clos. J'imagine que les derniers posts devaient paraître cryptiques.
    J'ai même peut-être trouvé (à voir) une technique qui n'utilise la dérivée À AUCUN MOMENT (en passant par un exo que j'ai mis pour OShine), qui remplace la recherche de
    $$
    \exists x: P(x)<0

    \qquad\text{par}\qquad

    \exists x\in [u,v] ,\quad \sum_i \ \frac{a_i}{x+b_i} <0 ,

    $$ les $b_i$ pouvant en plus être choisis à peu près selon les pires caprices qui nous passent par la tête.

    Mais bon, il y a des "preuves officielles de ça" (comme déjà dit dont une postée par GBZM, j'essaierai de mettre un lien ou de reposter son fichier qui doit être dans mes dossiers, mais je suis bordélique), les gens "calculateurs prodiges" peuvent aller les voir.
    Ici je bavarde surtout pour trouver un gros truc de gros flemmard tout grassouillet :-D
    Mais si j'arrive à une forme exposable, je la posterai.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je viens d'allumer mon pc et j'ai beaucoup de taf aujourd'hui, du coup, je me "mets en route" avec un exemple "ptit déjeuner" sur ce fil qui est relaxant pour moi (il heurete, mais seulement gentiment ma dyscalculie).

    Je veux écrire des conditions simples sur $a,b$ pour que $\exists x: x^6 + ax+b<0$

    Cela revient au même que demander $\exists x: (6x^5+a=0)$ et $(x^6 + ax+b<0)$

    Je me demande donc quand est-ce que $x^5 = -a/6$ et $(-a/6)x + ax + b<0$

    Je me demande donc quand est-ce que $x^5 = -a/6$ et $5ax + 6b<0$

    Je suppose $a>0$. Ca arrive quand $x < -6b / 5a$ et $x^5 = -a/6$

    Ca arrive quand $x^5 < (-6b / 5a)^5$ et $x^5 = -a/6$

    Autrement dit quand $-a/6 < (-6b / 5a)^5$ pour ce qui concerne les $a>0$. Et ainsi de suite... (C'est rigolo, ce sentiment algorithmique qu'on ressent en faisant ça)

    Bon pour la route, je traite une autre situation: quand est-ce que $[x^6<a$ et $x^4 + x<b]$

    $x^2(x^4+x-b) = x^6 + x^3 - bx^2$

    Je traite juste $x\neq 0$.

    La condition revient à plusieurs cas, je traite
    $x^6 + x^3 - bx^2 > x^6-a$ qui équivaut à $x^3-bx^2+a>0$ de sorte que je me retrouve à :

    $x^6 + x^3 - bx^2<0$ et $x^3-bx^2+a>0$ et j'ai gagné car fait baisser le degré.


    Est-ce que quelqu'un veut bien me proposer une situation $\exists x: [P<0$ et $Q<0]$ où j'aurais du mal à faire baisser les degrés? Merci d'avance.
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  • Foys
    Foys
    Etant donné $P\in \R[X]$, la suite de polynômes permettant de savoir pou tous $a,b\in \R$ si $P$ s'annule sur $[a,b]$est définie par $P_0=P$, $P_1 = P'$ et $P_{n+1}:= P_nQ_n- P_{n-1}$ où $P_{n+1}$ est de degré strictement inférieur à celui de $P_n$. Tu as oublié le signe moins dans la division euclidienne. Voir "suite de Sturm" sur internet.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    Merci Foys. Tu peux me mettre 2 polynômes qui me rendent difficile de faire baisser le degré ou tu penses qu'il n'y a pas de faille dans mon ressenti (je suis conscient que je n'ai pas été clair)?

    Précision, inégalités strictes, ie $\exists(P<0\wedge Q<0)$
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  • christophe c
    christophe c
    Sans degrés ultra élevé évidemment :-D
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  • christophe c
    christophe c
    Foys: je mets le lien que tu as recommandé, les gens économiseront 30 secondes de leur vie à googler :-D

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Sturm

    Je vais donc continuer ce fil récréatif** pour moi, avec la question (je me répète) :

    $$\exists (P=0; Q<0; R<0)$$

    le point virgule, voulant dire "et".

    [small](** fallait bien un jour que je comble ce manque culturel, mais je suis un vieux pépé, faut pas me pousser dans les orties, je vais faire les choses en plusieurs mois, comme ça je ne serai pas essoufflé :-D :-D )[/small]
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  • Foys
    Foys
    Je ne sais pas pour quels polynômes pour lesquels on peut procéder facilement ou difficilement; j'ai indiqué l'outil à tout faire mais je ne connais pas les algorithmes avancés.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    Merci, ne t'inquiète pas, au pire, je peux retrouver de la doc. Ce qui m'intéresse c'est plus de trouver tout seul.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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