Types "weak" et "strong" (p,q)
Réponses
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On dit qu'un opérateur $T : L^{q}\rightarrow L^{p}$ (je ne précise pas les mesures au départ et à l'arrivée : qui peuvent être différentes d'ailleurs)) est de type fort $(p,q)$ si : $$\forall f\in L^{q},\qquad \|T(f)\|_{p}\lesssim \|f\|_{q},$$ où la constante implicite est absolue (et ne dépend que de $T$).
On dit qu'un opérateur $T : L^{q}\rightarrow L^{p,w}(d\mu)$ est de type faible $(p,q)$ si : $$\forall f\in L^{q},\ \forall \lambda>0,\qquad \mu( \vert T(f)\vert \geq \lambda)\lesssim \frac{\|f\|^{p}_{q}}{\lambda^{p}},$$ où la constante implicite est absolue (et ne dépend que de $T$).
Ces notions sont utiles car s'interpolent bien et sont très flexibles (la linéarité de $T$ n'est pas toujours requise par exemple et peut-être supplantée par la sous-linéarité).
L'un des exemples les plus célèbres d'utilisation de ces espaces est la fonction maximale de Hardy-Littewood et le théorème d'interpolation de Marcinkiewicz. -
Merci pour votre explication@BobbyJoe.
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