Changement de variable
Réponses
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Refais les calculs alors...
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Puis-je te demander Oshine la référence du livre duquel tu tires tes exercices ?
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J'ai aussi l'impression que ça va marcher si on ne se trompe pas.
$
\def\ud{\mathrm{d}}
\begin{aligned}[t]
\int_{\frac1a}^a
\frac{x\ln(x)}{(1+x^2)^2} \ud{x}
& =
\int_a^{\frac1a}
\frac{\frac1t\ln(\frac1t)}{(1+\frac1{t^2})^2} \ud{\frac1t} \\
& =
- \int_{\frac1a}^a
\frac{\ln(t)}{t^3(1+\frac1{t^2})^2} \ud{t} \\
\end{aligned}
$ -
OK merci je recommence mes calculs.
Un cours de MPSI en ligne de Pascal Delahaye. -
Merci
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J'essaie de poser le changement de variable rigoureusement. Quand j'étais en prépa ma prof ne mettait pas les points si on faisait à la physicienne et moi je n'avais pas vraiment compris le changement de variable rigoureux.
Je pose $x=\varphi(t)=\dfrac{1}{t}$ et $f(x)=\dfrac{x \ln x}{(1+x^2)^2}$. La fonction $\varphi : \R^{+*} \longrightarrow \R^{+*}$ est une bijection de classe $C^1$.
$I=\displaystyle\int_{1/a}^a f(x)dx=\displaystyle\int_{\varphi^{-1}(1/a)}^{\varphi^{-1}(a)} f( \varphi(t))) \varphi'(t)dt$
Donc $I=\displaystyle\int_{a}^{1/a} \dfrac{- \ln t}{t (1+ 1 /t^2)^2} \dfrac{-1}{t^2} dt=-\displaystyle\int_{1/a}^a \dfrac{\ln t}{t^3 (1+ 1 /t^2)^2}dt $
Soit $\boxed{I=-\displaystyle\int_{1/a}^a \dfrac{t \ln t}{(1+t^2)^2}dt}$
Je bloque ici :-S -
Tu ne reconnais pas quelque chose OShine ?
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C'est une horreur le changement de variable "pas à la physicienne" ça rend la lecture vraiment pénible et tu as tes chances de te tromper.
Ps : ta dernière question est nulle. Tu devrais trouver comment faire si tu avais réfléchi plus de 30 secondes -
On a $I=-I$, donc ? Bizarre !
Sinon, moi, je n'ai jamais trop compris cette affaire de bijectivité du changement de variables.
Je croyais juste qu'il fallait juste rejoindre les deux bornes de l'intervalle de départ sans passer par des valeurs interdites... -
Bonjour,
Quand on voit une intégrale à calculer :
- On montre l’existence,
- On essaie un changement de variables qui laisse les bornes inchangées, dont $x\leadsto a+b-x.$ -
Bonsoir, si je ne m'abuse on trouve une primitive de la fonction à intégrer en posant $x=\tan\theta$ ( on utilise alors l'égalité $1 + (\tan\theta)^2 = (\sec\theta)^2$ ) + intégration par parties. En ce moment je m'entraîne à calculer des primitives mais je n'ai pas calculé d'intégrale depuis des lustres donc pas sûr de savoir gérer les bornes. Bon courage.
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On trouve $I=-I$ donc $2I=0$ donc $I=0$.
KJC tu te compliques la vie pour rien.
Yves oui l'existence est évidente ici.
J'étais obnubilé par la décomposition en éléments simples de $t/(1+t^2)^2$ et du coup je n'ai pas vu l'évidence :-( -
Quand j'ai vu ton sujet je me suis dis que ça me ferait un bon exo de calculer la primitive, et que peut-être mon résultat pourrait t'aider c'est tout
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Non, mais Oshine, évidemment, la vraie question, c'est de calculer $F(a) = \int_1^a f(x) dx$, et vérifier que $F\big(\frac1a\big) = F(a)$, ce qui est la même chose que $\int_\frac1a^a f(t) dt = 0$.
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KJC oui mais je suis l'indication de l'énoncé.
Marsup je ne comprends pas de quoi tu parles.
Pour la question $2$, je pose le changement de variable $u= \pi-x$ et je tombe sur $2I= \pi \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{ \sin u}{1+\cos^2 u} du$ et ici je ne vois pas comment terminer. -
Règle de Bioche et si c'est plus au programme, reconnaître une primitive (quand on connait bien ses dérivées, ça se voit).
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Les règles de Bioche ne sont plus au programme.
Je pense avoir trouvé mais je trouve bizarre que mon intégrale ne soit pas définie en $-1$ et $1$ :-S Est-ce normal ?
Je pose le changement de variable $u=\varphi(t)=arccos(t)$. La fonction $\varphi$ réalise une bijection de $[-1,1]$ sur $[0,\pi]$.
D'où $2I= \pi \displaystyle\int_{1}^{-1} \dfrac{-1}{\sqrt{1-t^2}} \dfrac{ \sin(arccos t)}{1+t^2} dt$
Donc $2I=\pi \displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{1}{1+t^2} dt= \pi (Arctan(1)-Arctan(-1) )=2 \pi Arctan(1)=2 \pi \dfrac{\pi}{4}= \dfrac{1}{2}$
Finalement $\boxed{I=\dfrac{1}{4}}$ -
Fais attention aux calculs : c'est plutôt $\dfrac{\pi^2}4$.
Sinon tu pourrais apprendre "tes tables de primitives".
... $\dfrac{u'}{1+u^2}$ a pour primitives... -
Mouais, tu ne fais que les choix les plus compliqués ! Pourquoi poser $u=arcos(t)$ au lieu de sa réciproque $\cos$ mille fois plus simple ?
C'est moins galère en formule. Parce que quand je vois $\frac{\sin}{1+\cos^2}$ ben je vois surtout $\frac{\cos'}{1+\cos^2} = \frac{u'}{1+u^2}$ au signe près... Faut juste avoir l'oeil, bien connaître ses formules mais bref.
Il reste une erreur.
EDIT : grillé par nahar !
Et sinon, même remarque que je te faisais déjà : pas besoin de bijectivité pour "fonction continue sur segment" mais il faut le caractère $\mathcal{C}^1$.
Ton expression est bien définie et continue après simplification et c'est ce qui compte pour que ton intégrale soit bien définie.
Dans le cours de spé, tu verras pourquoi ce n'est pas nécessaire. Par exemple, on peut définir et donner une valeur à $\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}$.
Enfin, j'espère que tu saurais expliquer à un jury si oui et non les fonctions $x\mapsto \frac{x}{x}$ et $x \mapsto 1$ sont égales et pourquoi, car c'est un peu ta question dissimulée. -
$\arctan(u)$ je la connais par cœur en plus :-X
Oui il faut que j'étudie les intégrales impropres.
Mon changement de variable était inutile c'est une primitive connue. Ok Nahar merci. -
OShine écrivait:
> Soit $\boxed{I=-\displaystyle\int_{1/a}^a \dfrac{t \ln t}{(1+t^2)^2}dt}$
>
> Je bloque ici :-S
C'est bien dommage que $\R$ soit de caractéristique 2... -
$\R$ n'est pas de caractéristique nulle ?
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Bonne question, à vrai dire j'hésite, peux tu m'éclaircir là dessus ?
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Bonsoir,
Si on compte sur $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, on a $2=0$.
Cordialement,
Rescassol -
Non je ne suis pas compétent dans ce domaine. Je connais juste la définition de la caractéristique d'un corps mais je n'ai aucun recul sur le sujet.
Mais je sais que dans $\Z /2 \Z$ on a $\bar{1}+\bar{1}=\bar{0}$ -
Brr !
J'espère que le prof de prépa de ton "futur" lycée viendra faire un tour ici avant de te confier des colles ! -
@ Oshine: Mes messages étaient juste pour rire un peu, $\R$ est évidemment de caractéristique nulle, mais l'égalité $I=-I$ n'a pas été exploitée. Cette égalité est possible pour $I$ non nul que dans un corps de caractéristique deux
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Bonjour,
Dès qu'ils sont $2$, ça s'annule: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$.
Peut-être faudrait-il un deuxième OS.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour Rakam.
D'ici la je serai peut être meilleur. -
D'ici la je serai peut être meilleur. (tu)Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Quand on calcule une intégrale définie:
1) On vérifie qu'il n'y a pas des symétries évidentes: $\displaystyle x\rightarrow \frac{1}{x},x\rightarrow \frac{\pi}{2}-x,\pi-x, $etc
Se rappeler que $\displaystyle J=\int_a^b f(x)dx=\int_0^b f\left(a+b-x\right)dx$
Ce qui fait qu'on a: $\displaystyle J=\frac{1}{2}\left(\int_a^b f(x)dx+\int_a^b f\left(a+b-x\right)dx\right)$*
2) Vérifier que l'intégrale n'est pas sous la forme: $\displaystyle \int_a^b G(f(x))f^\prime(x)dx$
NB: il vaut mieux connaître les symétries des fonctions trigonométriques:
\begin{align}\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)&=\sin x\\
\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)&=\cos x\\
\sin(\pi-x)&=\sin x\\
\cos(\pi-x)&=-\cos x\\
\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)&=\frac{1}{\tan x}\left(x\in \left]0;\frac{\pi}{2}\right[\right)\\
\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)&=\frac{1-\tan x}{1+\tan x} \left(x\in \left]0;\frac{\pi}{4}\right[\right)\\
\end{align}
(liste non exhaustive)
*: cette formule permet, entre autres, de calculer la première intégrale si on n'a pas remarqué que $J=-J$ entraîne que $J=0$. -
Bd2017 oui c'est vrai :-o
Fin de Partie d'accord merci.
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Bonjour!
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