Ensemble algébrique projectif irréductible

Bonjour, j'aimerais montrer que, comme dans le cas affine, si $I$ est un idéal homogène premier de $k[X_0,\cdots,X_n]$ (ne contenant pas $(X_0,\cdots,X_n)$) alors l'ensemble algébrique associé est irréductible dans $\mathbb P^n$ pour la topologie de Zariski.

Je n'arrive pas à conclure malheureusement. Passer par l'espace affine $k^{n+1}$ me semble être la bonne idée cependant je ne vois pas comment revenir en projectif par la suite.

Merci beaucoup.