Variété $ \mathcal{C}^k $-différentielle

Bonjour à tous

Soit $ M $ une variété $ \mathcal{C}^k $-différentielle ($ k > 0 $).
Soit $ S $ une sous-variété topologique de $ M $.
Est-ce que $ S $ est nécessairement une variété $ \mathcal{C}^k $-différentielle ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Un carré dans le plan n'est pas très lisse...
  • Ah oui, c'est vrai. Merci Poirot. (tu)
  • Bonjour,

    De manière un peu vague, pour raccourcir la question, est ce que, si $ \alpha $ est forme différentielle réelle sur une variété différentielle réelle $ M $, et $ f \ : \ T \to S $ est un homéomorphisme entre sous variétés $ T $ et $ S $ de $ M $, est ce que,
    $$ \int_T \alpha = \int_S \alpha \qquad ? $$

    Merci d'avance.
  • On a $$ \int_T \alpha = \int_{ f_{*} T } f^* \alpha = \int_S f^* \alpha = \int_S \alpha \circ f^{-1} .
    $$ Est-ce que je peux écrire ici $$ \int_S \alpha \circ f^{-1} = \int_S \alpha \qquad ?

    $$ Merci d'avance.
  • Non. Prendre l'exemple d'un tore complexe $M$ (surface de Riemann de genre $1$). On peut trouver une forme différentielle $\alpha$ et deux lacets $T$ et $S$ (je te laisse imaginer laquelle et lesquels) tels que l'intégrale de $\alpha$ vaut $0$ sur $T$ et $1$ sur $S$.
  • Ah oui, c'est vrai. Merci Paul.

    On prend :

    - $ M = S^1 \times S^1 $,

    - $ T = S^1 \times \{ 0 \} $,

    - $ S = \{ 0 \} \times S^1 $, et

    - $ \alpha = 2 \pi i \ e^{ 2 \pi it} \ dr \ dt $.

    Est ce que c'est ça ?

    Merci Paul.
  • Je te fais confiance pour les détails calculatoires ;-)
  • D'accord Paul. Mon exemple ne fonctionne pas, mais je corrigerai demain si je réussis. Merci. :-)

    Une autre question si vous me permettez.
    Est-ce que toute sous-variété d'une variété différentielle orientée est orientée ?
    Merci d'avance.
  • Non, le ruban de Mobius comme sous-variété de $\R^3$ n'est pas orientable.
  • Merci beaucoup senpai.
  • Curieuses ces questions pour quelqu'un qui a résolu la conjecture de Hodge non ? Prêt à reconnaître que tu racontes n'importe quoi Pablo ? Ce serait quelque chose de positif, il y a moins de honte à reconnaître une erreur que de se ridiculiser en mentant.
  • Oui, mes questions sont un peu naïves Poirot.
    Il y a certaines lacunes qui perdurent dans mon auto-apprentissage, que je n'ai pas eu l'occasion de combler.
  • Une autre question naïve si vous me permettez,
    J'utilise souvent en pratique le fait que toute variété complexe de dimension complexe $ n $ est une variété différentielle de dimension $ 2n $.
    Si nous notons $ X_{ \text{complexe}} $ une variété complexe de dimension $ n $, et $ X_{ \text{réelle}} $ la variété $ X_{ \text{complexe} } $ mais vue comme variété différentielle de dimension réelle $ 2 n $. On a alors, $ X_{ \text{complexe} } $ est homéomorphe à $ X_{ \text{réelle} } $ par un homéomorphisme $ f $.

    En passant aux groupes de cohomologie, on a l'isomorphisme $ f^* $ suivant, $ H^{2k} ( X_{ \text{complexe} } , \mathbb{Q} ) \simeq H^{2k} ( X_{ \text{réelle} } , \mathbb{Q} ) $.

    Ma question est,
    Si $ \alpha \in H^{2k} ( X_{ \text{complexe} } , \mathbb{Q} ) $, alors $ \alpha $ se met d'après la décomposition de Hodge ( sur une carte ) sous la forme $ \alpha = \sum_{i,j} f_{i,j} (z_i , \dots , \overline{z}_j ) d z_i \wedge \dots \wedge d \overline{ z}_j $.
    Est ce que l'image de $ \alpha $ dans $ H^{2k} ( X_{ \text{réelle} } , \mathbb{Q} ) $ par l'isomorphisme $ f^* $ se met sous la forme, $ f^* ( \alpha ) = \sum_{ k ,s } g_{k,s}( x_k , \dots , y_s ) dx_k \wedge \dots \wedge d y_s $, par l'identification, $ z_i = x_i + i y_i $ et $ \overline{z}_j = x_j - i y_j $, où les $ g_{k,s} $ sont des fonctions réelles et non complexes ?

    Merci d'avance.
  • Un peu d'aide s'il vous plaît. :-)
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