Ruine du joueur

Je rajoute une micro-étape, dans l'espoir que ça t'aide :
Soit $k$ un entier naturel.
Par décroissance de $(I_n)_{n \geq 1}$ pour la première inégalité puis par convergence en loi pour l'égalité :
$$\limsup _{n\to \infty} P \Big(\frac{X_n}{\sqrt n} \in I_n \Big) \leq \limsup_{n\to \infty} P \Big(\frac{X_n}{\sqrt n} \in I_k \Big) = \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi \sigma^2}} \int_{I_k} e^{-t^2 / 2\sigma^2} dt.

$$ Puisque $k$ ne dépend pas de $n$, tu peux prendre l'inf, et on obtient ce qui est recherché.