Une limite
dans Analyse
Soit $f$ une fonction à valeurs réelles définie sur $]0;1]$.
On suppose que $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ existe.
Est-il vrai que $\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0} \Big(\int_0^\alpha f(x)dx\Big)\ln \alpha=0$
NB : les intégrales considérées sont des intégrales de Riemann impropres. $f$ n'est pas supposée continue sur $]0;1]$.
On suppose que $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ existe.
Est-il vrai que $\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0} \Big(\int_0^\alpha f(x)dx\Big)\ln \alpha=0$
NB : les intégrales considérées sont des intégrales de Riemann impropres. $f$ n'est pas supposée continue sur $]0;1]$.
Réponses
-
C'est une évidence f positive majorée par 1 rien dit de telleLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Je ne vois pas, mon cher gebrane, quelque chose qui me saute aux yeux.
C’est un produit dans le premier facteur semble converger vers $0$*** et le second facteur tend vers $-\infty$.
***je n’ai pas de démo de ça et suis même en plein doute, ce soir.
$f$ n’est que localement Riemann-Intégrable et ça me tracasse bêtement car elle n’est pas nécessairement bornée. -
Dom
$$\displaystyle \left|\int_0^\alpha \ln \alpha f(x)dx\right|\leq \alpha |\ln \alpha |$$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Même si $f$ n’est pas bornée ?
Je n’ai pas le cerveau bien irrigué ce soir...
Je pense à des trucs du genre $f : t\mapsto \frac{-1}{t \ln ^2(t)}$ si toutefois j’en ai la franche possibilité. -
Je viens de relire le texte de FDP, j'ai lu Soit f une fonction à valeurs sur ]0;1]. je déclare CoupableLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Je ne t’en tiendrai pas rigueur.
Si Bertrand ne me fait pas défaut, j’ai trouvé une fonction plus haut qui désavoue la conjecture de Fin de partie (bonsoir !). -
Gebrane: Prends $f(x)=\ln x$.
si $0<\alpha<1$,
$\displaystyle \left|\ln \alpha\int_0^\alpha \ln x dx\right|=\alpha\left|\ln \alpha\right|\left(1-\ln \alpha\right)=\alpha\left|\ln \alpha\right|+\alpha\left|\ln \alpha\right|^2$
NB: pour $0<\alpha<1,\ln \alpha<0$ -
FDP, j'ai expliqué ce que j'ai vu, mon esprit tordu a vu à valeurs sur au lieu de définie surLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Dom: Si $f(x)=\dfrac{1}{x\ln^2 x}$ alors l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ n'est pas convergente.
La fonction $f$ n'est même pas définie en $x=1$.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1/(x*log(x)^2),x=0,1 -
Oui j’ai emmêlé les pinceaux de Bertrand au dénominateur et en l’infini...
N’importe quoi... -
Le fait que $f$ ne soit pas définie en $1$ n'est toutefois pas un problème puisque $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0$.
L'ennui est que $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ n'existe pas :-D.
Les intégrales de la forme $\displaystyle 0<u<1, \int_0^1 \frac{1}{x^u\left|\ln x\right|^u}dx$ convergent, semble-t-il, mais, numériquement, les intégrandes ne semblent pas être des contre-exemples. :-D
Edit: Merci à Dom. J'ai mélangé $0$ et $1$. :-D -
Ha mais non, Fin de partie.
La fonction que je propose ne pose qu’un problème en 1 donc on s’en fiche, il suffit de la modifier.
Ce qui compte c’est en 0 quitte à la modifier sur $[0,5;1]$.
La limite que tu indiques est en $0$. -
Dom: oui, en effet. Mais l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ ne converge pas pour cette fonction $f$. :-D
-
Haha oui, oui ;-)
Ainsi avec cette fonction dès que $\alpha$ est strictement inférieur à $1$ :
$\displaystyle \Big(\int_0^\alpha f(x)dx\Big)\ln \alpha=1$
Donc la limite cherchée est $1$. -
Une fonction oscillante comme $x\to (1/x)\sin(1/x)$ ?
Elle est non bornée sur ]0,1] et Son intégrale converge
On peut la primitiver (ça donne -Si(1/x)) mais https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(\ln(a)+\int_0^a+(1/x)\sin(1/x)+dx)Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Selon Wolfy ce n'est pas un contre-exemple:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+log(x)*Si(1/x),x=0
Selon Wolfy la limite n'est pas $0$ donc c'est un bon candidat comme contre-exemple. -
Diriez-vous que ma fonction n'est pas un contre-exemple ?
Bien entendu, on la modifie sur l'intervalle [1/2;1] pour avoir l'existence demandée.
Non ? -
Dom:
Je suis fatigué, j'ai fini par oublier ce qu'on cherchait. :-D
NB: Merci Gebrane ! j'aurais préféré cependant que la propriété soit vraie. :-D -
Bonjour,
Oui Dom. (tu) -
Haha.
En fait je me suis arrangé pour que : $\displaystyle \int_0^\alpha f(x)dx = \dfrac{1}{\ln \alpha}$
Bon, je n'étais pas non plus très en forme ce soir. Très étrange.
Edit : Ha ! Calli, merci, je viens de voir la réponse ;-) -
FDP, avant de me coucher explique moi ce qui se cache derrière ta phrase j'aurais préféré cependant que la propriété soit vraie.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Gebrane:
Je voulais étendre la portée de la preuve qui suit à des fonctions $f$ plus générales.
Mais de toutes façons il y a un autre ennui.
On n'a pas toujours $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(\int_0^x f(t)dt\right)=f(x).$
Théorème. $\ f$ est une fonction continue à valeurs réelles définie sur $[0,1]$.
\begin{align*}\int_0^1 \int_0^1 f(xy)dxdy=-\int_0^1 f(u)\ln udu\end{align*}
Preuve \begin{align*}
\int_0^1 \int_0^1
&\overset{u(x)=yx}=\int_0^1 \frac{1}{y}\Big(\int_0^y f(u) du\Big)dy\\
&\hspace{3.5mm} \overset{\text{IPP}}=\Big[\Big(\int_0^y f(u) du\Big)\ln y\Big]_0^1-\int_0^1 f(y)\ln y dy
\end{align*} Puisque $f$ est continue, alors il existe, $M>0$ tel que, $\displaystyle x\in [0;1],\left|f(x)\right|\leq M$. Donc, $\displaystyle y>0, \left|\Big(\int_0^y f(u) du\Big)\ln y\right|\leq M\left|y\ln y\right|$.
Ainsi, $\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\Big(\int_0^y f(u) du\Big)\ln ydy=0$.
NB. Ce théorème est vrai, si je me souviens bien, si $f$ vérifie seulement que $\displaystyle \int_0^1 f(t)dt$ est convergente. Mais la preuve ci-dessus ne fonctionne pas. -
FDP si f est $L^1_{loc}$ peut être, on peut s'en sortir en rempliant f par $f_h=f.\chi_{[0,h]},\quad \forall h>0$ et utiliser le théorème de convergence dominée,
Il fait tard. Demain à réfléchirLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Gebrane:
Je veux rester à un niveau "élémentaire" (c'est-à-dire utiliser l'intégrale de Riemann).
On a déjà parlé de ce résultat. On peut le démontrer pour des fonctions plus générales sans recourir à l'intégrale de Lebesgue.
Dans l'intégrale $\displaystyle \int_0^1\int_0^1 f(xy)dxdy$ il faut procéder au changement de variable $u=xy,\ t=x-y$ -
Bonjour,
@gebrane :
La fonction $f: x\mapsto {1\over x} \sin {1\over x}$ n’est pas un contre exemple. On a bien l’existence $\int_0^1 f(x) dx$, mais on a aussi $\ln a \int_0^a f(x) dx \to 0,(a\to 0).$
Non ?
@FDP :
Le théorème fondamental de l’analyse garantit que ${d\over dx} \int_0^x f(t) dt =f(x)$. Tu as écrit que des fois ce n’est pas vrai. Ah bon ? -
YvesM: Je sais seulement avec certitude que si $f$ est continue sur $[0;1]$ alors on a bien $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\Big(\int_0^x f(t)dt\Big)=f(x)$. Si on a une fonction $f$ qui vérifie $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ est convergente je ne sais pas si pour $x\in [0;1]$ la fonction $\displaystyle x\mapsto \int_0^x f(t)dt$ est dérivable.
Si la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}\sin(\frac{1}{x})$ est un contre-exemple à la propriété indiquée dans le premier message alors je crains fort qu'on n'ait pas pour cette fonction $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\Big(\int_0^x f(t)dt\Big)=f(x)$ pour $x=0$. -
YvesM
Je suis à moitié endormi, donc tu consommes ce que je vais raconter avec modération
Premier point Une primitive de de ma $f$ est $-Si(1/x)$
car par définition $Si'(x)=\frac{\sin x}{x}$ donc $(Si(1/x))'=-\frac 1{x^2}(Si'(1/x)=..$
Deuxième point La limite de $Si(1/x)$ en $0^+$ est $\frac {\pi}2$ car d’après l’intégrale de Dirichlet la limite en $+\infty$ de $Si(x)$ est $\frac {\pi}2$ donc $\ln a \int_0^a f(x) dx=-\ln a [Si(1/x)]_0^a =- \ln a \big(Si(1/a)-\frac {\pi}2\big)\to \infty \times 0,\ (a\to 0^+)$ forme indéterminée
Ajout avec un dl asymptotique tu as raison YvesM, ça tend vers $0$ ($\int_0^N \frac{\sin x}xdx=\frac {\pi}2-\frac{\cos N}N+o(\frac 1N)$).Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
FDP en ce matin je réalise que YvesM avait raison. Mon contre n'est pas unLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
FDP, pourquoi tu disGebrane:
Dans l'intégrale $\displaystyle \int_0^1\int_0^1 f(xy)dxdy$ il faut procéder au changement de
variable $u=xy,\ t=x-y$
Pour éviter le problème, tu peux procéder ainsi $\begin{align}
\int_0^1\int_0^1 f(xy)dxdy
&\overset{u=1-xy,v=\frac{1-x}{1-xy}}=\int_0^1\int_0^1 \frac{uf(1-u)}{1-uv}dudv\\
&\overset{z=1-u}=\int_0^1\int_0^1 \frac{(1-z)f(z)}{1-(1-z)v}dvdz\\
&=-\int_0^1 f(z)\Big[\ln\left(1-v(1-z)\right)\Big]_0^1 dz\\
&=-\int_0^1 f(z)\ln zdz
\end{align}$
n'est-ce pas :-D ...Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Bonjour. Sans continuité on ne peut rien dire Fdp. Pour $f$ l'indicatrice du segment $[\frac 12,1]$ l'intégrale $\displaystyle \int_0^1f(x)dx$ est convergente mais la fonction $\displaystyle g: x\mapsto \int_0^x f(t)dt$ n'est pas dérivable. Pour l'indicatrice du singleton $\{\frac 12\}$ la fonction $g$ est dérivable mais sa dérivée est pas $f$...
-
Gebrane:
J'aurais dû penser à ce changement de variable.
Dedekind93:
Merci. -
Mais il y a un problème, rien ne garantit que l'intégrale généralisée de $x\mapsto f(x)\ln x$ est convergente
(À reprendre l'exemple de Dom $f(x)=\dfrac{1}{x\ln^2 x}$ sur $]0,\frac 12]$ et $f(x)=\dfrac 2{\ln^2(2)}$ sur $[\frac 12,1]$).Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Gebrane:
Dans le calcul que tu as fait plus haut il y a des non-dits implicites:
1) l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \int_0^1 f(xy)dxdy$ existe (rien que cette écriture contient aussi de l'implicite).
2) On peut appliquer le théorème de Fubini comme tu l'as fait -
Ok, pour voir à quoi tu penses comme hypotheses
qui vous convient , ecris-lesLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
En pratique, j'ai seulement besoin que $f$ soit continue sur $]0;1]$ et que l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ existe.
-
Avec seulement ces hypotheses, ton theoreme est faux.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Gebrane:
Si on rajoute l'hypothèse: $\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0} \Big(\int_0^\alpha f(x)dx\Big)\ln \alpha=0$ cela doit fonctionner.
Dans le papier qui donne une version de ce théorème les hypothèses sont: $f$ est une fonction intégrable sur l'intervalle $[0;1]$. -
Peux-tu joindre aussi la preuve de ce théorème ?
Ajout
Non pas besoin puisque ici l’intégration est au sens de Riemann donc nécessairement la fonction est bornée sur le segmentLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Gebrane a écrit:donc nécessairement la fonction est bornée sur le segment
Que penses-tu de $f(x)=\ln x$? -
FDP,
la fonction $\ln$ n'est pas Riemann-intégrable sur $]0,1[$ car justement elle n'y pas bornée, c'est son intégrale généralisée qui converge.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Gebrane:
Je pense que tu ne donnes pas le même sens à: $f$ est intégrable sur $[0;1]$, que l'auteur de cet article.
Je pense que pour lui cela signifie que l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ existe.
Si on prend $f(x)=\ln x$.
$\displaystyle \int_0^1 \int_0^1 \ln(xy)dxdy=2\int_0^1 \ln x dx=-2$
Par ailleurs, $\displaystyle \int_0^1 \ln^2 x \,dx=2$
Donc la propriété est vérifiée (et l'hypothèse aussi). -
Dans ce cas son théorème est faux. Regarde le contre de Dom que j' ai repris dans un de mes messagesLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
L’ambiguïté est dans « $\int_0^1 f(x)dx$ existe ».
Pour moi ce n’est pas équivalent à $f$ est Riemann-intégrable sur $[0;1]$.
L’irrémédiable (« la condition nécessaire la plus restrictive ») avec Riemann, c’est $f$ est localement intégrable sur $]0;1[$.
Cela signifie que $f$ est Riemann-intégrable sur tout segment inclus dans $]0;1[$.
Évidemment $f$ est Riemann-intégrable sur $[0;1]$ entraîne le fait que $f$ est localement intégrable sur $]0;1[$.
Mais l’inverse n’est pas vrai (voir les exemples non bornées). -
Bonsoir Dom
Que proposes-tu comme hypothèses pour avoir un beau théorème . Je trouve aussi dommage comme FDP de se restreindre aux fonctions f continues sur le segment [0,1]Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Houlala, je ne sais pas si je suis capable de proposer des hypothèses les plus fines possibles.
-
Dans un autre article qui généralise le théorème susmentionné voici l'énoncé donné:
-
Si on suppose que les intégrales existent et [sont] finies la preuve ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2202760,2203054#msg-2203054 tient ces promesses.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 164.4K Toutes les catégories
- 37 Collège/Lycée
- 22K Algèbre
- 37.4K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 56 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 12 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 16 CultureMath
- 49 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.6K Géométrie
- 78 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 73 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 328 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 785 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres