Est-ce une série entière ?

Ce n'est pas une série entière, car tu ne peux pas mettre le terme général sous la forme $z\mapsto a_n z^n$.

Pas pour $z=2$ Gilles Benson...

On ne peut pas couper en 2 pour $z=2$ Yves.

La remarque finale de Acide21 montre bien que c'est impossible qu'il s'agisse d'une série entière.

Le domaine de convergence (réelle) d'une série entière est toujours un intervalle $I$ vérifiant $]-R,R[\subset I\subset [-R,R]$.

La remarque de Acide2021 montre que le domaine de convergence de la série de départ n'est pas de cette forme.

Enfin bon, ce sont des fonctions méromorphes, quoi...

Bonjour. J'ai interprété la question comme : si $D$ est l'ensemble des complexes $z$ tels que $\displaystyle\sum_{n\geq 0}(z-2)z^n$ converge, alors existe-t-il une suite $(a_n)_{n\geq 0}$ complexe telle que pour tout $z\in D$ la série $\displaystyle\sum_{n\geq 0}a_nz^n$ converge et $\forall z\in D,\; \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(z-2)z^n=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$. La réponse est alors non car $0,2\in D$ et $\frac 32\notin D$, donc $D\cap\mathbb{R}$ n'est pas un intervalle. Après si on restreint au disque unité ouvert, la réponse est oui. Enfin, c'est un peu de pinaillage tout ça c'est vrai.

Oui c'est une série entiere. Meme la série

$f(z) = \sum_{k \geq 0} z^{2^k} $ peut etre vue comme une série entiere car la série des $(a_n)_n $ se construit comme étant :
$a = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, ... ) $
Et avec cette définition de la suite $a$ alors $ f(z) = \sum_{k \geq 0} a_k z^k $