Projectivité

Bonjour, je pose $A:=\Z[\sqrt 2]$. Est-ce-que $\C$ est projectif sur $A$ ? Comme $A$ est principal, cela revient à monter (ou infirmer) que $\C$ est libre sur $A$. Cependant je ne sais pas comment procéder. Auriez-vous une piste ?

Réponses

  • Un module projectif sur un tel anneau peut-il être divisible ?
  • $\C$ n'est pas libre sur $A$ car pour tout $x\in \C$, $x = 2\left ( \frac x 2\right )$ ce qui empêche $x$ de faire partie d'une base de $\C$ sur $A$ ($\frac x 2 \notin Ax$ parce que $2$ n'est pas inversible dans $A$).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Ok pour l'argument de Foys ! Par contre je ne vois pas trop pour ton argument Maxtimax ?
  • C'est le même argument que Foys :-D Connais-tu le sens de "divisible" ?
  • Oui Poirot je connais, c'est bon j'ai compris le lien. J'écris ce lien: soit $A$ un anneau intègre qui n'est pas un corps et $M$ un $A$-module libre. Alors $M$ n'est pas divisible. Supposons le contraire. Soient $x\in M$ un élément d'une $A$-base $(e_i)_{i\in I}$ de $M$ et $a\in A$ non nul et non inversible. Comme $M$ est divisible, il existe $y=\sum_{j\in J} a_je_j\in M$ ($J\subset I$ est fini et $a_j\in A$) tel que:
    $$
    x=ay=\sum_{j\in J} aa_j e_j.
    $$
    Comme $x$ est un élément de cette base, la dernière égalité implique que l'un des $e_j$ est $x$, disons $e_{j_0}$. Cela implique alors que $a_j=0$ si $j\neq j_0$ par intégrité de $A$ et $aa_{j_0}=1$ donc $a$ est inversible. C'est absurde.

    Dans notre cas, si $\C$ est projectif sur $A$ alors $\C$ est libre sur $A$ car $A$ est principal. Or $\C$ est divisible sur $A$, ce qui n'est pas possible d'après ce que l'on vient de montrer.
  • senpai: pas besoin de passer par libre, tu peux directement faire pour projectif; pire encore : sous-module d'un module libre (sur un principal, toutes ces notions sont les mêmes...)
    En effet un élément $x \in\bigoplus_{(I)}A$ s'écrit $\sum_i \lambda_i e_i$, et pour que cet élément soit divisible par $\alpha$ disons, il faut que chaque $\lambda_i$ soit divisible par $\alpha$. En particulier, si $x$ est divisible par tout $A\setminus \{0\}$, chaque $\lambda_i$ l'est; sur un anneau intègre cela implique que $\lambda_i$ est inversible (en remarquant que $\lambda_i^2$ le divise), puis que $A$ est un corps
  • Oui tu as raison, en tout cas, cela répond totalement à ma question, merci :-)
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