Intégrale impropre

Alyes
Alyes
dans Analyse
Bonjour,
Je suis embêté avec la 2ème intégrale. Elle est impropre en 1; 2 et 3. Converge-t-elle vraiment ?
Merci pour vos réponses.118118

Réponses

  • gilles benson
    gilles benson
    ben non
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Alyes
    Alyes
    D'accord merci pour ta réponse. Il y a donc bien une erreur dans l'énoncé.

    Je pensais remplacer la borne 0 par 4 par exemple
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    concernant la seconde intégrale il n'y a pas d'erreur d'énoncé, elle est parfaitement convergente

    d'une part sur les deux bornes d'intégration 0 et + oo elle converge,

    d'autre part au voisinage de x = 1, x =2, x = 3 la discontinuité de la fonction à intégrer

    est compensée et digérée dans l'intégration, puisqu'il s'agit de pôles simples

    le calcul de l'intégrale en question nécessite une décomposition en fractions élémentaires soit :

    $\frac{x}{(x-3)(x-2)(x-1)} = \frac{3/2}{x-3} - \frac{2}{x-2} + \frac{1/2}{x-1}$

    et l'intégrale est donc l'expression :

    $$[\frac{1}{2}ln\frac{(x-1)(x-3)^3}{(x-2)^4}]$$ à calculer de 0 à + oo soit :

    $$\frac{-1}{2}ln\frac{27}{16}$$

    cordialement
  • Fin de partie
    Fin de partie
    La deuxième intégrale ne converge pas mais apparemment elle a une valeur principale.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • cadiou
    cadiou
    bonjour, êtes vous certain que la première ne converge pas? on peut calculer la primitive de la fonction et donc la calculer, =+4
    cordialement
  • etanche
    etanche
    La première se calcule avec IPP
  • Fin de partie
    Fin de partie
    La première peut se calculer facilement si on connait la fonction gamma.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • cadiou
    cadiou
    bonjour, pourquoi utiliser la fonction Gamma, l'IPP parait simple?
  • gilles benson
    gilles benson
    rebonjour, la notion de valeur principale correspond au principe suivant.
    On remplace le calcul de $\ \displaystyle \int_a^b f(t) \mathrm dt\ $ par $\ \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_a^{c- \epsilon} f(t) \mathrm dt + \int_{c+ \epsilon}^b f(t) \mathrm dt,\ $ si $a < c < b $ et si $f$ présente un pôle en $c$.
    Le fait de passer par une limite symétrique permet parfois d'obtenir une limite finie.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Cadiou a écrit:
    bonjour, pourquoi utiliser la fonction Gamma, l'IPP parait simple ?
    \begin{align}
    \int_0^\infty (x^2+2)\text{e}^{-x}dx&=\int_0^\infty x^2\text{e}^{-x}dx+2\int_0^\infty \text{e}^{-x}dx\\
    &=\Gamma(3)+2\Gamma(1)\\
    &=2!+2\times 0!\\
    &=\boxed{4}

    \end{align} NB. Si $n$ est un entier naturel non nul on a
    $\displaystyle \Gamma(n)=\int_0^\infty x^{n-1}\text{e}^{-x}dx=(n-1)!$
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • gilles benson
    gilles benson
    rebonjour, il y a un truc simple avec les fonctions du type: $x \mapsto (ax^2 + bx + c)e^{-x}$; c'est un ensemble fermé pour la dérivation:
    $$
    \dfrac{d}{dx} \left( (ax^2 + bx + c)e^{-x} \right) \; = \; \left( -ax^2 + (2a - b)x +b-c \right) e^{-x}.

    $$ Et déterminer une primitive d'une telle fonction revient à résoudre un système triangulaire très simple. Donc pas de fonction eulérienne ni d'intégration par parties.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • john_john
    john_john
    Accepter la notion de valeur principale d'une intégrale est utile dans le cadre des Distributions, car la dérivée d'une fonction localement intégrable peut ne pas être localement intégrable, mais cela me semble cher payé dans le cadre du calcul intégral pour lui-même : on perd la formule de Chasles, celle du changement de variables et peut-être même aussi l'IPP. Et pour gagner quoi en compensation ?
  • P.
    P.
    Alyes doit se mefier de ce que dit jean lismonde, qui ne voit aucun inconvenient a dire que $\int_{-1}^1\frac{dx}{x}$ converge et vaut zero.
  • Dom
    Dom
    C’est souvent comme ça.
    Je ne sais pas pourquoi on dit des choses fausses volontairement.
    Ou, du moins, très peu conventionnelles sans le déclarer comme tel.
  • gerard0
    gerard0
    Et ça fait plus de 15 ans que ça dure !
  • Chaurien
    Chaurien
    Il faudrait mettre un bandeau sur ses messages comme pour l'abus d'alcool ;-)
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