Résolution d'une EDP

Bonjour, je voulais trouver les fonctions $f : ({\bf R}_+^*)^2 \to {\bf R}$ de classe $\mathscr{C}^2$ solution de l'EDP du second ordre homogène à coefficients non constants suivante :

$\displaystyle (E) : x^2 \frac{\partial^2 f }{\partial x^2 } - y^2 \frac{\partial^2 f }{\partial y^2 }=0$.

Pour cela on me demandait de poser $u=xy$ et $v=x/y$.

On a donc une nouvelle fonction F telle que $f(x,y)=F(u,v)$.

J'exprime donc les dérivées partielles secondes $\displaystyle \frac{\partial^2 f }{\partial x^2 }$ et $\displaystyle \frac{\partial^2 f }{\partial y^2 }$ en fonctions de $u$, $v$, des dérivées partielles $\displaystyle \frac{\partial^2 F }{\partial u^2 }$ et $\displaystyle \frac{\partial^2 F }{\partial v^2 }$, ainsi que de la dérivée mixte $\displaystyle \frac{\partial^2 F }{\partial u \partial v }$.

Tous calculs fait, j'en ai déduit que $f$ était solution de $(E)$ si et seulement si $F$ est solution de

$\displaystyle (F) : 2u \frac{\partial^2 F }{\partial u \partial v } - \frac{\partial^2 F }{\partial v^2 } =0$.

Et c'est là que je bloque...

Dans mon corrigé, ils arrivent à

$\displaystyle (F') : 2u \frac{\partial^2 F }{\partial u \partial v } - \frac{\partial F }{\partial v } =0$.

Me suis-je trompé dans mes calculs ou est-ce le corrigé qui est faux ?

Cordialement,
un_kiwi

Réponses

  • Bonjour,

    Leur résultat est correct. Le tiens est faux.

    Ton erreur est dans le calcul de $\partial^2_y$ qui contient un terme dérivé de $-{x\over y^2} \partial_vF$ : quand tu dérives par rapport à $y$ tu as un terme en ${2 x\over y^3} \partial_vF$ que tu as oublié.

    Aussi, tu n’as pas de terme croisé à calculer : tu calcules les dérivées secondes par rapport à $x$ puis à $y$ et tu reportes.
  • Je ne comprends pas où j'ai fait une erreur alors.

    J'ai

    $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =
    \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \frac{\partial^2 F}{\partial u^2}
    +2 \frac{\partial u \partial v }{\partial y^2} \frac{\partial^2 F}{\partial u \partial v}
    + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} \frac{\partial^2 F}{\partial v^2}$

    $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=x$

    $\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =0 $

    $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}= { - \frac{x}{y^2}} $

    $\displaystyle \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}= { \frac{2x}{y^3}} $

    donc je devrais avoir

    $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = {- 2 \frac{x^2}{y^2} \frac{\partial u \partial v }{\partial y^2}} \frac{\partial^2 F}{\partial u \partial v}
    + 2\frac{x}{y^3} \frac{\partial^2 F}{\partial v^2}$

    Il y a surement quelque chose que je n'ai pas compris dans le calcul de $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$...
  • Bonjour,

    C’est très simple : tout ton calcul est faux. Tout.

    Calcule $\partial_x f.$ Que trouves-tu ?
    Puis calcule $\partial_x^2 f.$ Que trouves-tu ?

    Et oublie les formules fausses et dérive simplement.
  • Ok, alors je n'ai peut-être pas compris les formules que je manipule...

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial v} $.

    Je n'ai pas l'habitude de dériver des composées de fonctions de plusieurs variables.
  • Bonjour,

    Et donc $f_x=y F_u+{1\over y} F_v$ où les indices sont des dérivées partielles.

    Réécris avec tes notations et calcule la dérivée seconde.
  • Ok donc je trouve bien comme vous

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}= y \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{1}{y} \frac{\partial F}{\partial v} $.

    Mais c'est la que ça coince.

    En re-dérivant par rapport à $x$, j'obtiens

    $\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}
    = \frac{\partial }{\partial x } \left( y \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{1}{y} \frac{\partial F}{\partial v} \right)
    = \underbrace{\left( \frac{\partial }{\partial x } y \right)}_{=0} \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{1}{y} \left( \frac{\partial }{\partial x } \frac{\partial F}{\partial v} \right)
    $.

    Par contre, je ne comprends pas comment calculer $\displaystyle \frac{\partial }{\partial x } \frac{\partial F}{\partial v} $.
  • Bonjour,

    La c’est faux.

    $(yF_u)_x=y (F_u)_x$ puisque dans une fonction de $x,y$ la dérivée partielle par rapport en $x$ traite $y$ comme une constante.

    Par composition : $(F_u)_x=(F_u)_u u_x+(F_u)_v v_x.$

    Je te laisse finir. A demain.
  • Ok, c'est bon, je trouve la bonne équation, les calculs étaient long mais ca marche, je vous remercie pour votre aide, je poursuis la résolution.
  • Bonsoir, me revoilà. Alors finalement, je trouve que les fonctions $f \in \mathscr{C}^2 ( ({\bf R}_+^* )^2,{\bf R})$ solution de $(E)$ sont de la forme $f(x,y)= A(x/y) \sqrt{xy} +B(xy)$, où $A$ et $B$ sont de classe $\mathscr{C}^2$ sur ???

    Mais après je ne vois pas comment en déduire l'ensemble des solutions définies sur ${\bf R}^2$. Dois-je refaire tous les calculs en prenant une des deux variables dans ${\bf R}^-$ ?
  • Bonjour,

    C'est $B(x/y)$ et non pas $B(xy).$

    Pour une solution sur $\R$, considère $f(-x,y)$ et $f(-x,-y)$ et $f(x,-y)$ : quelle EDO vérifient-elles ?
  • Bonsoir,

    En primitivant, je trouve que $F(u,v)=A(v) \sqrt u + B(u)$ donc logiquement je devrais avoir $\displaystyle f(x,y)=A \left( \frac x y \right) \sqrt{xy}+ B(xy)$.

    Les fonctions $(x,y) \mapsto f({-x},y)$, $(x,y) \mapsto f(x,{-y})$ et $(x,y) \mapsto f({-x},{-y})$ vérifient bien l'équation $(E)$, mais est-il possible de trouver une expression plus générale de $f(x,y)$ ?

    Cordialement,
  • Bonjour,

    Je ne sais pas si on peut trouver d’autres solutions.

    Et tu as raison, c’est $B(u)$, une fonction constante pour $v.$
  • Du coup, les solutions on les as toutes. Elles sont de la forme

    $\displaystyle (x,y) \mapsto A\left( \frac{\pm x}{ \pm y } \right) \sqrt{ (\pm x)( \pm y)} + B( (\pm x)( \pm y) )$, avec $A$ et $B$ de classe $\mathscr{C}^2$, non ?
  • Bonjour,


    Il faut que l’argument de la racine reste positif.

    Le dénominateur ne doit pas être nul.

    Et c’est $A(v)\sqrt{u}$ qui doit être $C^2$ par nécessairement $A$ - le tout comme fonction de $x,y$.

    Et non, on n’a pas démontré non que toutes les solutions sont de cette forme. Simplement que cette forme donne des solutions.
  • Il faudrait donc vérifier que réciproquement ces fonctions trouvées sont bien solutions !

    Je ne comprends pas cette subtilité : pourquoi c'est $A(v)\sqrt{u}$ qui doit être de classe $\mathscr{C}^2$ et non pas seulement $A$ ?
    J'avoue avoir encore du mal avec la dérivation d'ordre 2.
    Si on prends une fonction $f$ de deux variables $x$ et $y$, et on pose $u=g(x,y)$ et $v=h(x,y),$ alors $f= F(g,h)$ et

    $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x} \times \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial x} \times \frac{\partial F}{\partial v} $

    donc
    $$ \begin{align*}
    \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&= \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) \\
    & = \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \times \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial x} \times \frac{\partial F}{\partial v} \right) \\
    & = \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) \times \frac{\partial F}{\partial u} + \frac{\partial u}{\partial x} \times \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial F}{\partial u} \right) + \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial v}{\partial x} \right) \times \frac{\partial F}{\partial v} + \frac{\partial v}{\partial x} \times \frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial F}{\partial v} \right) \\
    &= \ ???
    \end{align*}
    $$ Bref, je suis un peu perdu... Cette formule n'est pas commode, je ne la comprends pas et je ne comprends pas d'où elle vient...
  • Pour bien comprendre ces bestioles, un exemple à faire d'un de mes examens
    Soit $u(x,y)=U(r\cos(t),r\sin(t))=U(r,t)$
    Montre que $$U_{tt}=u_{xx}r^2\sin^2 t +
    u_{yy}r^2\cos^2(t)-2u_{xy}r^2\sin t \cos t - u_x r\cos t-u_y r\sin t$$
    NB A l’époque, je n'ai pas pu traité cette question par manque du temps :-D)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Bonjour,

    Tu n'as pas besoin de vérifier la réciproque. Elle l'est certainement.

    Par ailleurs, rien ne t'empêche de vérifier que ce sont bien des solutions, mais ça n'a rien à voir avec trouver toutes les solutions.

    $A(x,y) = \sqrt{x/y}$ n'est pas $C^2$ puisqu'elle n'est pas définie en $y=0.$ Pourtant $A(x,y) \sqrt{xy} = x$ et la fonction $x \mapsto x$ est $C^2.$

    Quand tu calcules, il faut calculer. Relis deux fois pour comprendre.

    Je commence :
    $f(x,y) = A(x/y) \sqrt{xy} + B(xy).$

    Comme l'EDO est linéaire, on traite $B$ :
    $f_x = y B'(xy)$
    $f_{xx} = y^2 B''(xy)$
    $f_y = x B'(xy)$
    $f_{yy} = x^2 B''(xy)$
    Et on reporte : $x^2f_{xx} - y^2 f_{yy} = 0.$

    Pour le premier terme :
    $f_x = 1/y. A'(x/y) \sqrt{xy} + A(x/y) .1/(2 \sqrt{x}). \sqrt{y}.$

    Tu termines...
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