Inégalité, analyse fonctionnelle

Ratyl
Ratyl
dans Analyse
Bonjour voici mon exercie.

$ \forall j \in [1,n]$ , $,\ \forall a_j, b_j \geq 0,\ \forall \alpha , \beta>0$ tels que $\alpha + \beta = 1 $,
Montrer que :
$ \forall j \in [1,n] ,\ \sum a_j ^\alpha b_j^\beta \leq (\sum a_j)^\alpha (\sum b_j)^\beta.$

Cela me fait penser à l'inégalité de Hölder avec $\alpha = 1/p$ et $\beta = 1/q$ mais je ne vois pas trop comment débuter.
Merci !

PS. Savez-vous pourquoi à chaque fois je vois " | " lorsque je code en Latex ?

[Pour les barres verticales avec MacOS voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1204455,1209141#msg-1209141 AD]

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Hoelder donne $(\sum x)^a (\sum y)^b\geq (\sum (x^a y^b)^{1/(a+b)})^{a+b}$ avec des notations à deviner.
  • Ratyl
    Ratyl
    Je crois avoir compris, pouvez me dire si je suis dans la bonne voie et si oui me donnez une indication

    Posons $ \forall i \in [1,n],
    x_i = a_i^\frac{1}{p}, y_i = b_i^\frac{1}{q}$

    L'inégalité de Holder nous dit que $x_1 * y_1 + ... + x_n * y_n \leq (x_1^p +...+ x_n^p)^\frac{1}{p} * (y_1^p +...+ y_n^p)^\frac{1}{p} $
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Sauf que tu mets du $p$ au lieu du $q$, mais tu es sur la bonne voie.
  • Ratyl
    Ratyl
    Ah oui c'est :

    Posons $ \forall i \in [1,n],
    x_i = a_i^\frac{1}{p}, y_i = b_i^\frac{1}{q}$

    L'inégalité de Holder nous dit que $x_1 * y_1 + ... + x_n * y_n \leq (x_1^p +...+ x_n^p)^\frac{1}{p} * (y_1^q +...+ y_n^q)^\frac{1}{q} $
  • Ratyl
    Ratyl
    Bonsoir est-ce que quelqu’un peut me donner une indication je suis bloqué au message précédent merci !
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si tu écris l’inégalité de Hoelder que tu connais, je te montre : ce devrait être immédiat.

    Essaie d’écrire $ab$ et non pas $a*b$ qui n’est pas défini.

    Tu peux aussi noter $\alpha=1/p, \beta=1/q$, vérifier la valeur de $\alpha+\beta$ et réécrire ta dernière équation selon $a,b,\alpha,\beta$ et comparer à l’inégalité.
  • Ratyl
    Ratyl
    .
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Oui. Mais oublie les $x*y$ s'il te plaît : cette notation est merdique (pour rester poli) et tu ne l'utilises pas de façon consistante (et donc ce que tu écris est faux/ incompréhensible).

    Par ailleurs, il te faut préciser que les $a$ et $b$ sont positifs et que $p,q$ sont non nul et que $1/p+1/q = 1$, sinon c'est faux.
  • Ratyl
    Ratyl
    Très bien merci !
    J'avais une autre question :
    $\forall j,k \in [1,n][1,m] :
    a_{jk} \geq 0, b_k > 0,
    \sum\limits_{k=1}^m b_k = 1$
    Montrer que $\sum\limits_{j=1}^n \prod\limits_{k=1}^m
    (a_{jk})^{b_k}
    \leq
    \prod\limits_{k=1}^m (\sum\limits_{j=1}^n
    a_{jk})^{b_k}$
    Est ce qu'il faut se servir de la 1ère question ?

    [Quand tu effaces tes messages après avoir obtenu des réponses ! http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2186726,2188014#msg-2188014
    Crois-tu que cela donne envie de te répondre ? AD]
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Oui, c’est Hoelder de façon évidente. Pour le voir plus facilement commence par écrire les relations pour $m=2.$
  • Ratyl
    Ratyl
    Pour m=2 :
    $\sum\limits_{j=1}^n \prod\limits_{k=1}^2(a_{jk})^{b_k} = \sum\limits_{j=1}^n (a_{j1})^{b_1}(a_{j2})^{b_2}$
    $\prod\limits_{k=1}^2 (\sum\limits_{j=1}^n a_{jk})^{b_k}= (\sum\limits_{j=1}^n a_{j1})^{b_1} (\sum\limits_{j=1}^n a_{j2})^{b_2}$

    En fait on a :

    $\sum\limits_{j=1}^n \prod\limits_{k=1}^m(a_{jk})^{b_k} = \sum\limits_{j=1}^n (a_{j1})^{b_1}...(a_{jm})^{b_m}$
    et
    $\prod\limits_{k=1}^m (\sum\limits_{j=1}^n a_{jk})^{b_k}= (\sum\limits_{j=1}^n a_{j1})^{b_1} ...(\sum\limits_{j=1}^n a_{jm})^{b_m}$

    Et comme $\sum\limits_{k=1}^m b_{k}=1, a_{jk} \geq 0\ et\ b_j>0$
    on a l'inégalité demandé.

    Est-ce bien cela ?
  • Ratyl
    Ratyl
    En me relisant, j’ai l’impression que je suis en train « d’arnaquer » car « je ne fais rien » ^^
    pour le cas m=2 je vois directement qu’il s’agit bien de la question 1
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Oui pour $m=2$.

    Et pour $m>2$ comment démontres-tu le résultat ?
  • Ratyl
    Ratyl
    Je pense qu’une récurrence sur n fera l’affaire ?
  • Ratyl
    Ratyl
    C’est bien cela ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si tu connais Hoelder, c’est immédiat.

    Si tu cherches à démontrer Hoelder, essaie la récurrence mais elle n’est pas évidente.
  • Ratyl
    Ratyl
    Oui je connais Holder mais je n'arrive pas a le voir ici ..?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Il ne faut rien voir. Il faut démontrer.

    Essaie une récurrence.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Avec des notations à deviner, montre que Hoelder est $\displaystyle \Big(\sum x \Big)^a \Big(\sum y\Big)^b\geq \Big(\sum x^{{a\over a+b}}y^{{b\over a+b}}\Big)^{a+b}.$

    L’exposant à droite $a+b$ est la somme des exposants à gauche.
    L’exposant de $x$ est $a$, l’exposant de sa somme, divisé par la somme des exposants $a+b.$

    Puis de deux à trois c’est évident :
    $\displaystyle \Big(\sum z\Big)^c \Big(\sum x^{{a\over a+b}} y^{{b\over a+b}}\Big)^{a+b}\geq \Big(\sum x^{{a\over a+b+c}} y^{{b\over a+b+c}} z^{{a\over a+b+c}}\Big)^{a+b+c}.$

    L’exposant de $x$ est ${a\over a+b}\times (a+b)\times {1\over (a+b+c)}.$
  • Ratyl
    Ratyl
    Sincèrement monsieur je ne vois pas où vous voulez en venir
  • gebrane
    gebrane
    Par récurrence sur m , ce n'est pas très difficile de démontrer ton inégalité $\sum\limits_{j=1}^n \prod\limits_{k=1}^m

    (a_{jk})^{b_k}

    \leq

    \prod\limits_{k=1}^m (\sum\limits_{j=1}^n

    a_{jk})^{b_k}$
    Tu démarres par écrire
    $\sum\limits_{j=1}^n \prod\limits_{k=1}^{m+1}

    (a_{jk})^{b_k} = \sum\limits_{j=1}^n a_{j1}^{b_1} \prod\limits_{k=2}^{m+1}

    (a_{jk})^{b_k} $ ( Je suis de passage)
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • gebrane
    gebrane
    edit apres vérification
    YvesM sauf erreur cette inégalité, il me semble, se démontre directement avec l’inégalité de Young ; $\displaystyle \prod_{i=1}^n x_i^{\frac 1{p_i}} \le \sum_i^n \frac {x_i}{p_i}$ où $x_1,\cdots,x_n>0$, $p_1,\cdots,p_n>0$, et $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{p_i}=1$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Ratyl
    Ratyl
    Salut gebrane, je n'ai pas réussi à faire la récurrence.
  • gebrane
    gebrane
    Ok, le soir je vais t’écrire quelques choses si personne ne te vient en aide ( Je suis de passage)
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Ratyl
    Ratyl
    Merci!
  • gebrane
    gebrane
    voila117890
    11.jpg 132.3K
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


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