nilpotents

sophie21 · October 2005

Bonsoir,

Avec E espace vect de dim n sur R, j' ai cru voir dans un bouquin que le sous- espace de L(E) engendré par les endo nilpotents est exactement le noyau de la trace.
Est-ce vrai ?

J' ai quelques outils que je n' arrive pas à exploiter :

1) On se ramène à un point de vue matriciel. Ker(Trace) est de dim n^2 -1, et les (n^2-n) matrices élémentaires E(i,j) (i different de j) (qui sont nilpotentes) sont de trace nulle et linéairement indépendantes. Vect(nilpotentes) se "rapproche" donc de ker(trace).

2) Ker(trace)=ensemble des crochets [f,g]=fg-gf.

3) caracterisation des nilpotentes avec trace des différentes itérées nulle.

Merci.

Pilz0 · October 2005

Pour ta première question c'est bien vrai.
En ce qui concerne la caractérisation on a
A nilpotent $\Leftrightarrow \forall k \geq 1 Tr(A^k)=0$

Attention cette caractérisation n'est valable que sur un corps de caractéristique nulle.

alekk4 · October 2005

* tu connais deja une inclusion: une matrice nilpotente possede une trace nulle:

*pour l'inclusion inverse, si on travail sur un corps de caracteristique nulle, c'est aussi assez facile: soit $M$ une matrice de trace nulle. On montre facilement que cette matrice est semblable à une matrice dont tous les éléments diagonaux sont nuls. Donc il suffit de traiter ce cas. Mais une telle matrice est combinaison lineaire de matrice du type $aE_{i,j}$, avec $i \neq j$, $a$ quelconque. La conclusion suit ..

François Frédéric · October 2005

Notons au passage que la démonstration d'alekk prouve aussi qu'un endomorphisme de trace nulle est somme de deux endomorphismes nilpotents (une matrice dont les coefficients diagonaux sont nuls est somme de deux matrices strictement triangulaires).

alekk4 · October 2005

et maintenant, quels sont les endomorphismes qui sont produit d'endomorphismes nilpotents .. c'est un peu plus hardu !

[si j'ose : c'est soit hard, soit ardu mais l'un ou l'autre :-)))
"Restons français..." Fernand Raynau. Bruno]

sophie21 · October 2005

Merci. C' est clair.

Gilles old · October 2005

Bruno, Fernand Raynaud, non ? En plus il Clermontois lui aussi :-)

Mrleduc · October 2005

Bonsoir Alekk.

Plus simple !

on va ajouetr aux $n^2-n$ matrices nilpotentres indépendantes $E_{ij}$ le nombre qu'il faut, en l'occurrence $n-1$, de matrices nilpotentes indépendantes avce les précédentes.

Pour cela faire descendre, le long de la diagonale de la matrice nulle, la matrice $2x2$ formée des quatre coefficients $1,1,-1,-1$, disposés comme il se doit...

Quel etmps fait-il du côté de la Gironde?

alekk4 · October 2005

j'avoue ne pas bien comprendre ...

Mrleduc · October 2005

L'Ens n'est plus ce qu'elle était !

tata0 · October 2005

Bonjour,

<<*pour l'inclusion inverse, si on travail sur un corps de caracteristique nulle, c'est aussi assez facile: soit une matrice de trace nulle. On montre facilement que cette matrice est semblable à une matrice dont tous les éléments diagonaux sont nuls.>>

Cette propriété est fausse, cela signifie que la matrice nilpotente

1 -1
1 -1

est semblable à la matrice nulle. A partir de cette matrice, on peut montrer que c'est faux à n'importe quelle dimension(compléter par des zéros).

alekk4 · October 2005

Mrleduc, même avec ta seconde explication, j'avoue toujours ne pas saisir les subtilités de ton raisonnement ... je connais une solution plus longue et je serai interessé par la tienne, plus courte, c'est tout. Pas la peine de prendre la grosse tête !

tounet · October 2005

non non c'est vrai !!! alekk dit que votre matrice est semblable à

(0 a)
(b 0)

alekk4 · October 2005

pardon Mrleduc, je pensais que tu résolvais le problème avec les produits de matrices nilpotentes ... dsl

tata0 · October 2005

<<non non c'est vrai !!! alekk dit que votre matrice est semblable à

(0 a)
(b 0)>>

Que valent a et b dans mon cas?

tata0 · October 2005

<<non non c'est vrai !!! alekk dit que votre matrice est semblable à

(0 a)
(b 0)>>

Que valent a et b dans mon cas?

tata0 · October 2005

Oups désolé, j'ai fait un calcul de tête trop rapidement.

tounet · October 2005

en "jordanisant" je dirais a=1 et b=0 ! mais c'est pas grave on a tous des petits moments d'égarements ;-) (moi le premier...)

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