cyclicité de (Z/pZ)*

e=mc31 · October 2005

Un théorème archi classique nous dit que le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. La démonstration n'est pas bien dure, mais fait tout de même appel à quelques subtilités. Je me demandais si dans le cas de $(\Z/p\Z)*$ p premier on ne pouvait pas avoir une démonstration plus simple et plus directe

Alban · October 2005

En abrégé:

1) Si q premier q\p-1, il existe un élément d'ordre q : $x^{\frac{p-1}{q}}$ (sinon pour tout x, $x^{\frac{p-1}{q}}$ serait d'ordre 1 et $^X^{\frac{p-1}{q}} admettrait p-1 racine).

2) Dans le même ordre d'idée, si $q^k$ divise p-1, on peut trouver $x_k$ d'ordre $q^k$ (à vérifier de plus près).

3) Si $p-1=q_1^{k_1} q_2^{k_2} ....q_n^{k_n}$ alors $x=x_1 x_2...x_n$ est d'ordre p-1

Mais je ne pense pas que ça soit plus rapide que la dem classique.

Je me sauve, j'ai une réunion...
@+

Alban · October 2005

En abrégé:

1) Si q premier q\p-1, il existe un élément d'ordre q : $x^{\frac{p-1}{q}}$ (sinon pour tout x, $x^{\frac{p-1}{q}}$ serait d'ordre 1 et $^X^{\frac{p-1}{q}}-1$ admettrait p-1 racine).

2) Dans le même ordre d'idée, si $q^k$ divise p-1, on peut trouver $x_k$ d'ordre $q^k$ (à vérifier de plus près).

3) Si $p-1=q_1^{k_1} q_2^{k_2} ....q_n^{k_n}$ alors $x=x_1 x_2...x_n$ est d'ordre p-1

Mais je ne pense pas que ça soit plus rapide que la dem classique si on l'écrit proprement.

Je me sauve, j'ai une réunion...
@+

borde · October 2005

En fait, l'aspect cyclique de $(\Z / p\Z)^{*}$ équivaut à l'existence d'une racine primitive modulo $p$ (cf. la démo d'Alban ci-dessus).

On peut alors recourir à la formule d'inversion de Möbius de la façon suivante : si $p \geqslant 3$ est premier, on note $N(d)$ le nombre d'éléments d'un système réduit modulo $p$ ayant un ordre valant exactement $d$, pour tout diviseur $d$ de $p-1$. On vérifie que $$\sum_{c \mid d} N(c) = d$$ et donc, d'après la formule d'inversion, on a : $$\sum{c \mid d} \mu(c) \frac {d}{c} = N(d)$$, ou encore $N(d) = \varphi (d)$ où $\varphi$ est l'indicateur d'Euler. En particulier, $N(p-1) = \varphi(p-1) \geqslant 1$. Il y a donc au moins une racine primitive modulo $p$.

Borde.

borde · October 2005

En fait, l'aspect cyclique de $(\Z / p\Z)^{*}$ équivaut à l'existence d'une racine primitive modulo $p$ (cf. la démo d'Alban ci-dessus).

On peut alors recourir à la formule d'inversion de Möbius de la façon suivante : si $p \geqslant 3$ est premier, on note $N(d)$ le nombre d'éléments d'un système réduit modulo $p$ ayant un ordre valant exactement $d$, pour tout diviseur $d$ de $p-1$. On vérifie que $$\sum_{c \mid d} N(c) = d$$ et donc, d'après la formule d'inversion, on a : $$\sum_{c \mid d} \mu(c) \frac {d}{c} = N(d),$$ ou encore $N(d) = \varphi (d)$ où $\varphi$ est l'indicateur d'Euler. En particulier, $N(p-1) = \varphi(p-1) \geqslant 1$. Il y a donc au moins une racine primitive modulo $p$.

Borde (correction LaTeX).

Alban · October 2005

Encore une fois, un petit merci de l'auteur du post serait le bienvenue (je dis ça surtout pour Borde dont l'idée est nettement plus originale), à moins que ses clipa ne lui en laisse pas le temps

)

lolo · October 2005

il semble effectivement que e=mc3 ait quelques difficultés récurrentes de ce coté là mais c'est son droit (dommage !)

e=mc31 · October 2005

On se calme j'ai effectivement pas mal de feux qui brulent en même temps(au fait pour Alban ils ont mis le feu pour de vrai hier!! et figure toi qu'il y a des classes qui sont en train d'essayer de battre le record des clipa (si, si une classe de 24 bien allumés ça peut être pire qu'un demi groupe de 10 clipa dans lequel il y a 3 absents. C'est possible, même si la comparaison est hasardeuse!!!!)). Je passe c'est hors sujet) et n'ai pas eu le temps de revenir depuis. Je devrais peut être monter à bord d'une fusée relativiste pour avoir le temps de vous répondre (je délire)

Alors bien sûr un gros, très gros (pour toutes les fois où je n'aurais pas dit merci) merci à vous tous . Merci tardif, mais vous êtes trop rapides pour moi. D'ailleurs les rares fois où j'avais la réponse à un poste il y avait déjà quelqu'un qui y avait répondu, sinon j'essayerais de rendre un peu ce que l'on me donne, mais je suis trop lent et peut être un peu dispersé...

Alors sans rancune j'espère.

Voici donc mes remarques

Alban:
concernant ta démo (que j'avais déjà vu quelque part mais pour être franc je l'avais alors complètement oubliée), comme tu le dis, une fois tout écrit proprement ça n'est guère plus court que l'autre méthode. Elle est cependant instructive et et $constructive$ dans son mode de raisonnement alors que dans la méthode générale on ne construit pas effectivement un élément dont l’ordre est celui de notre groupe. Mais cette approche m'amène à me poser des questions sur une généralisation éventuelle du théorème de Cauchy (existence d'un élément d'ordre $p^\alpha$) J'ai préféré ouvrir un autre poste sur le sujet.

Borde:
j'ai dû m'y reprendre à deux fois pour comprendre ta démo. qui est franchement originale de part son appel à l’inversion de Mobius. En fait là où j’ai un peu buté c’est qu’ il fallait (parce que moi je ne connaissais pas la formule de $\phi$ avec $\mu$) appliquer l’inversion de Mobius également à $\sum_{c|d}\phi(c)=d$ pour obtenir l’expression de $\phi(d)$ ci-dessus. SI je ne me trompe cette inversion nous dispense du raisonnement sur un polynome de degré d qui permet de montrer qye $N(d)\leq\phi(d)$. Toujours si je ne me trompe la méthode de Borde marche également dans le cas général.

borde · October 2005

Salut Alban,

Je crois que e=mc3 est en plein travail, et ce depuis un bon moment, pour préparer l'agreg.

Pour compléter cette intéressante question, rappelons qu'il existe au moins une racine primitive modulo $n$ ssi $n = 2$, $n=4$, $n=p^{\alpha}$ ou $n=2p^{\alpha}$ avec $p \geqslant 3$ premier et $\alpha \in \N^{*}$. Ce sont bien sûr les cas où $(\Z / n \Z)^{*}$ est cyclique. Dans ces cas, il y a alors $\varphi (\varphi (n) )$.

Borde.

borde · October 2005

Salut Alban,

Je crois que e=mc3 est en plein travail, et ce depuis un bon moment, pour préparer l'agreg.

Pour compléter cette intéressante question, rappelons qu'il existe au moins une racine primitive modulo $n$ ssi $n = 2$, $n=4$, $n=p^{\alpha}$ ou $n=2p^{\alpha}$ avec $p \geqslant 3$ premier et $\alpha \in \N^{*}$. Ce sont bien sûr les cas où $(\Z / n \Z)^{*}$ est cyclique. Dans ces cas, il y a alors $\varphi (\varphi (n) )$ racines primitives modulo $n$.

Voir \lien {http://mathworld.wolfram.com/PrimitiveRoot.html}

Borde (rajouts).

borde · October 2005

Alban,

Je vients de te lire...Tu as parfaitement raison dans tous les cas. Je traite de ce résultat dans mon livre (pub !).

Rappelons que la formule d'inversion de Möbius est due fait que les fonctions arithmétiques multiplicatives $1$ et $\mu$ sont inverses pour le produit de Dirichlet $\ast$. Ainsi, on a : $$f \ast 1 = g \Longleftrightarrow g \ast \mu = f.$$ Remarquons aussi que, d'une façon plus générale, les "formules d'inversion", que ce soit dans les cas discret ou continu, permettent de grandes choses en maths (inversions de Möbius et de Pascal dans le cas discret, inversion de Fourier, de Mellin, de Laplace, etc. dans le cas continu).

S'il n'en existe pas encore (?), il faudrait écrire un livre sur les formules d'inversion et leurs (nombreuses) applications.

Borde.

borde · October 2005

Pardon : c'est e=mc3 que je venais de lire...Tu as raison pour les points que tu mentionnes.

et bon courage pour ton travail (qui devrait nécessairement payer cette année, non ?)

Borde.

borde · October 2005

...Au fait : c'est quoi, un clipa ? C'est comme un nombre plouton ?

Borde.

e=mc31 · October 2005

<AD>
Pour Borde
 
 CLIPA:
 Ce sont des classes de collège avec une age voisin de 16 ans en 3ème. Le sigle signifie
 Classe d'insertion professionnelle par alternance (c'est différent des ALP dans la mesure où par exemple on leur impose 4 heures de maths par semaine en 3ème (ce qui est une aberration quand on sait qu'en CAP (en tous les cas ceux que j'ai connus) il n'y en a qu'une).
 Certains disent ces classes sont à la limite de l'illégalité because of the collège unique (mais ça se fait dans tous (beaucoup) de collèges à problèmes) et en tous les cas avec la loi Fillon l'an prochain ça devrait disparaître au profit d'une 3ème à détermination professionnelle dont la vocation est de préparer les élèves à intégrer un BEP (c'est très bien sur le papier, mais quand on a des élèves (j'en ai eu un) qui ne savent ni lire ni écrire c'est un peu à côté de la plaque et on ne peut pas mettre tout le monde en SEGPA). Mais comme les élèves en question on doit les avoir jusqu'à 16 ans il va bien falloir qu'ils aillent quelque part. Donc ceux qui enseignent dans les ZEP difficiles (toutes les ZEP ne sont pas équivalentes) et n'ont jamais eu affaire à ces phénomènes (pour ce qui est des miens intégrer un CAP l'an prochain relève déjà de l'exploit) tenez vous prêts.
 
 En réalité ce n'est pas tant le niveau (on les prépare au CFG (certificat de fin d'étude) donc on leur apprend à lire et écrire des nombres, les quatre opérations plus deux trois trucs (se servir d'une règle graduée par exemple)) que le comportement de ces élèves qui est difficile. J'ai pourtant enseigné en CAP, mais passé 16 ans bon nombre d'élèves échappent au système (donc quand ils quittent la 3ème) et donc les profs de CAP (qui doivent souffrir par moment quand même) ne savent pas vraiment ce que sont ces élèves réputés difficiles. Il y a des élèves qui devraient être en SEGPA (pb de QI) qui atterrissent là parce qu'ils ont un comportement incompatible avec l'enseignement de type SEGPA (et parmi les 3 exclus cette année sur un total de 19 il y en a une qu'ils ont envoyée en SEGPA (d'où elle a dû se faire exclure...)) et qu'il n'y a pas de structure pour des élèves avec de tels comportement. On y voit de tout du délinquant qui serait en tôle s'il était majeur, au psy qui devrait être sinon à l'asile du moins dans une structure où l'on prend en considération ses problèmes d'un point de vue clinique et avec un vrai suivi psychologique. Le point commun dans ce que j'ai vécu c'est une absence totale d'éducation (c'est impossible à décrire ou en tous les cas en quelques lignes). La première chose toute bête et qui n'est pas évidente c'est de tous les garder à l'intérieur de la salle de cours pendant les 55 minutes (sans fermer la porte à clef bien sûr c'est de la triche). La deuxième c'est qu'il faut stocker dans un placard leur matériel (de quoi écrire: cahiers...) pour le ressortir à chaque cours sinon ils n'ont rien (et que les grands théoriciens qui disent qu'on les déresponsabilise en agissant ainsi viennent enseigner une heure dans ce genre de classe)
 
 L'un des problèmes quand on débute avec ce genre de classe c'est de refaire son propre règlement intérieur (chut il ne faut pas le dire), car le règlement intérieur de l'établissement est inapplicable en l'état dans ce genre de classe ( ou alors on met un surveillant à demeure dans la classe qui embarque tout élève qui enfreint le règlement... Avec le risque de finir l'heure de cours tout seul!!!!). Il faut aller à l'essentiel, mais en fait l'essentiel dépend des jours et du contexte !!! Il faut s'adapter en permanence. Ce qu'il y a de sûr c'est qu'en début d'année je me suis cassé la voix pour rien. Principe numéro un : ne jamais monter le ton avec ce genre de classe, non seulement c'est peine perdue, mais on récolte l'effet contraire de celui escompté.
 
 
 La fin de l'année arrive et je commence à savoir les prendre. En fait ils marchent beaucoup à l'affectif, mais sont dans une telle situation de rejet que ce n'est pas évident du tout et si l'on s'y prend mal l'agressivité démarre au quart de tour. Par exemple la semaine dernière, brevet blanc oblige on m'a demandé de prendre les craignos d'une autre 3ème qui étaient dispensés de brevet blanc avec les clipa. Ils se sont ramenés avec un bloc de béton de la taille de mon poing et on commencé à le jeter de toutes leurs forces sur la porte de la salle de cours. J'ai supprimé le bloc en question, mais à peine l'ai je posé sur mon bureau pour éventuellement gérer l'affaire plus tard qu'ils s'emparent du bloc. Je ne me fâche pas et demande gentiment qu'on me le rende. Je savais pertinemment qu'ils ne voulaient pas faire de mal à quelqu'un (juste m'énerver), mais je savais également qu'avec la dose de bêtise qui les habitent, ils auraient pu envoyer quelqu'un à l'hôpital sans l'avoir voulu. Je me fais insulter, la moitié des élèves sort des capotes l'autre des ballons remplis d'eau (bombes à eau). Le bloc passe à travers la fenêtre (ouverte). Heureusement personne ne le ramasse sur le coin du nez. Aussitôt un des élèves quitte la salle pour allez chercher ce bloc que je réclamais. Evidemment ils ont réussi à me faire sortir de mes gonds (et je ne raconte pas tout parce qu'il y a des choses que je n'ai dites à personne et que ce site est public et que j'ai compris que parfois il vaut mieux garder pour soi) et c'est ce qu'il cherchait. C'est la première fois depuis que j'enseigne que je vire toute une classe (en l'occurrence la partie de la classe qui n'était pas la mienne). Il faut dire que j'avais un terrible mal de crane et que dans ses conditions on a un seuil de tolérance qui baisse. Le lendemain on m'a demandé de reprendre tout ce beau monde. J'ai un peu angoissé, mais j'ai décidé de rester zen et d'oublier les incidents de la veille. Eh bien ça c'est très bien (tout est relatif bien sûr) passé (je ne dirais pas ce que je leur ai fait faire).
 
 Ce que j'apprécie chez eux c'est qu'ils n'ont pas la grosse tête, ils sont naturels et hormis quelques craignos que je préfère oublier ils sont toujours prêts à rendre service. S'ils n'étaient pas aussi fatigants je les regretterais presque par rapport à d'autre classes où l'on trouve des "m'as tu vu" avec les parents qui viennent vous embêter quand leur moyenne baisse. Pour moi le problème le plus dur de ces classes c'est "démerde toi". Personne ne veut savoir ce qui s' y passe et en parler c'est un sujet tabou. On nous impose de les prendre en classe entière en moyenne quinze jours pas mois. C'est inadmissible et tout simplement ingérable. Alors beaucoup de collègues passent de la pommade, en parlent en termes très modérés ou n'en parlent tout simplement pas (peur d'être jugés par d'autres collègues, par la hiérarchie ou tout simplement envie de déconnecter pour garder leur équilibre psychologique), (moi-même il y a des choses que je garde pour moi) et l'administration jusqu'au plus haut de sa pyramide est contente ainsi. Circulez y a rien à voir et de fait les rares sanctions qui ont été prononcées ( 3 exclusions définitives) ont vraiment été pour des élèves qui avaient dépassé, mais alors vraiment dépassé toutes les bornes (je n'en parlerai pas ici).
 
 
 Enfin je pourrais en parler des heures, il y a de quoi écrire un bouquin (tiens si j'en avais écris un je ferais de la pub moi aussi !)). En tous les cas je ne regrette pas de m'être porté volontaire c'est très formateur, ça permet de relativiser beaucoup de choses et au moins ça évite de dire n'importe quoi quand on parle de pédagogie, grandes idées, collège unique, égalité des chances et j'en passe.
 
 Désolé pour la pollution dans ce poste, mais il ne fallait pas me brancher sur ce sujet sensible. Je pense que tu comprends maintenant pourquoi Alban a évoqué ces chers clipa

borde · October 2005

Un merci à e=mc3 pour avoir pris la peine de détailler la définition de ces classes que je ne connaissais pas. A ce que j'ai pu voir il faut être bien armé mentalement pour s'occuper de groupes tels que ceux-là. Bravo !

A +

Borde.

lolo · October 2005

oui , si ça peut te rassurer , un collègue agrégé en année de stage a eu des "section restauration" où, la règle absolue était de ne jamais tourner le dos aux élèves :

a) jets de compas sur le prof
b) devoirs brulès en classe

Bref le cas de e=mc3 n'est pas totalement isolé,
bon courage !

(ps : maintenant le collègue en question enseigne en prépa)

lolo

majdi0 · October 2005

Bonjour,

Je remonte un vieux sujet car je suis tombé sur une preuve sans doute classique (et pour le cas général) mais assez directe qui utilise le théorème de structure des groupes dans le Hungerford Algebra (V th 5.3).
Le résultat se montre en deux lignes en "tassant un peu". (D'ailleurs je ne sais pas si dans une leçon d'agreg sur les corps fini on peut mettre le théorème de struture en pré-requis).

Si cela intéresse quelqu'un je mettrais la preuve sur le forum sinon étant une bille en Tex je m'abstiendrais.

a+

majdi

e=mc31 · October 2005

Majdi tu nous mets l'eau à la bouche!

majdi0 · October 2005

Bonjour,

Pour $F$ un corps $G$ un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de $F$ alors $G$ est un groupe cyclique.

$Preuve$:

Pour $G$ non réduit à l'élément neutre abélien on a $G$$\simeq$ $\Z$m1$\oplus$$\Z$m2$\oplus$...$\oplus$$\Z$mk avec m1|....|mk. Puisque mk$\times$($\oplus$$\Z$mi)$=0$ il suit que $\forall$$u$$\in$ $G$ est racine du polynome $x^m^k-1_F$$\in F[x]$ Ce polynome ayant au plus mk racines distinctes dans $F$, nécéssairement $k=1$ et $G$$\simeq$$\Z$mk.

Rq:
_ $G$ groupe multiplicatif décomposé dans un groupe additif ce qui explique que $u$ soit racine du polynôme.
_ Le dernier argument porte essentiellement sur le cardinal du groupe déduit de sa décomposition.

bon weekend

majdi

Mrleduc · October 2005

Cette preuve ne figure-t-elle pas aussi ds le Samuel (théorie alg. des nombres)?

Merci.

Mrleduc · October 2005

Bonsoir Majdi.

Voici une variante plus courte (?).

Soit $G$ un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif $\Bbb K$, alors $G$ est cyclique.

Le groupe commutatif $G$ est produit direct de ses $p$-Sylow. Il suffit alors de montrer que chacun d'eux est cyclique.

On est ramené à $G$ p-groupe abélien. Mais un $p$-groupe abélien est cyclique, si et seulement si, les éléments $x$ tels que $x^p=1$ sont au plus en nombre $p$.
Ce qui est ici clairement le cas, car l'équation $X^p-1$ a au plus $p$ racines dans un corps commutatif.

majdi0 · October 2005

Bonsoir,

Merci beaucoup pour cette preuve. Comment montres tu ?:

Un $p-groupe$ abélien est cyclique, si et seulement si, les éléments $x$ tels que $x^p=1$ sont au plus au nombre de $p$.

majdi

Mrleduc · October 2005

Bonjour Majdi,

Voilà une belle journée qui commence, et le soleil éclaire déjà à 7h du matin (heure d'hiver, la vraie ou la fausse?) le ciel d'Angers. Un très joli croissant (finissant) est visible de la fenêtre de mon donjon.

La réponse à votre question est que cela se fait exactement pareil que pour montrer qu'un opérateur nilpotent est "cyclique" si, et seulement si, son noyau est de dimension 1.
Ici, dans le $p$-groupe, noté additivement, il s'agit de considérer l'endomorphisme $x\mapsto p\cdot x$.

Cordialement,

Mrleduc.

majdi0 · October 2005

Merci pour la correction de mon message.

Merci pour ta réponse Mrleduc mais comme je n'ai pas trop le temps d'essayer de montrer cette propriété pourriez vous me renvoyer vers une référence que je pourrais consulter (livre, ou document sur le net) (je passe à la BU de jussieu demain donc ça ne me dérange pas(en espérant qu'ils ne fassent pas le pont)).

Juste une remarque ne faudrait t'il pas que p soit différent de 2 (cad premier impair) ? Sinon on peut exhiber $\Z_2\times\Z_2$ (2-groupe abélien, fini, non cyclique vérifiant 2x=0 pour deux éléments seulement) comme contre exemple, sauf erreure de ma part.

Très cordialement

majdi

majdi0 · October 2005

Erratum.

Le contre exemple est faux tous les éléments du groupe vérifie 2x=0.

a+

majdi

cyclicité de (Z/pZ)*

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion