Équation aux dérivées partielles

Bonjour, je cherche à résoudre :
$$
x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2x^5+y^6

$$ L'indication donnée était de considérer $\psi(t)=f(tx,ty)$ (où $x$ et $y$ sont fixés).

Donc j'ai bien vu que :
$$
\psi '(t)=x\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty) + y\frac{\partial f}{\partial y}(tx,ty).

$$ Mais après je ne sais que faire. Auriez-vous une indication s'il vous plaît ?

Réponses

  • $$x\frac{\partial d}{\partial f(x,y)}+y\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2x^5+x^6.

    $$ Bonjour
    L'indication donnée pour le changement de variables peut faciliter le travail. Mais, pour la beauté de la chose, on va résoudre le problème sans s'en servir, grâce à la méthode des caractéristiques. https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics
    Équations de Charpit-Lagrange :
    $$\frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{df}{2x^5+x^6}.
    $$ Une première équation caractéristique provient de la résolution de $\displaystyle \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}\ :\qquad \frac{y}{x}=c_1.$
    Une seconde équation caractéristique provient de la résolution de $\dfrac{dx}{x}=\dfrac{df}{2x^5+x^6}$
    $$df=(2x^4+x^5)dx \\
    f-\frac25 x^5-\frac16 x^6=c_2.
    $$ La solution générale de l'EDP sous forme d'équation implicite $c_2=\Phi(c_1)$ conduit donc à : ($\Phi$ est une fonction arbitraire)
    $$\boxed{f(x,y)=\frac25 x^5+\frac16 x^6+\Phi\left(\frac{y}{x}\right).}

    $$ Comme on s'y attendait il y a une infinité de solutions correspondant à autant de fonctions $\Phi$ que l'on veut. Si l'énoncé de la question comportait des conditions à la frontière du domaine, il faudrait déterminer la fonction $\Phi$ qui satisfait ces conditions pour trouver une solution unique (dans le cas où elle existe).
  • Merci beaucoup.
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