matrice unitaire sous forme d'exp

Pi1 · October 2005

Bonjour tout le monde !!!

Je souhaiterais avoir la démonstration du résultat suivant svp :

Dans mon cours de mécanique quantique, il est écrit que toute matrice unitaire peut s'écrire comme exp(I*epsilon*A) où A est une matrice hermitienne et epsilon un réel.

Je suis ok en dimension 1 !!! mais en dimension n>1 j'ai du mal...

Merci d'avance !!!

Pi

dssg · October 2005

Bonjour, Pi,
ta matrice unitaire $U$ se diagonalise avec changement de base orthonormale sous la forme $D=Diag(\ell_1,\dots,\ell_n)$, où les $\ell_k$ sont de norme $1$, donc de la forme $\exp(it_k)$. Donc $D=\exp(iH)$, avec $H=Diag(t_1,\dots,t_n)$ qui est bien hermitienne. Enfin, le retour à la base initiale conserve les vertus de tout ce petit monde : si $U=\,^t\!PDP$, $P$ unitaire, alors $U=\exp(i\,^t\!PHP)$ avec $^t\!PHP$ hermitienne.

Alain Debreil · October 2005

Bonjour Pi,
Ta matrice unitaire $U$ se diagonalise avec changement de base orthonormale sous la forme $D=Diag(\ell_1,\dots,\ell_n)$, où les $\ell_k$ sont de norme $1$, donc de la forme $\exp(it_k)$. Donc $D=\exp(iH)$, avec $H=Diag(t_1,\dots,t_n)$ qui est bien hermitienne. Enfin, le retour à la base initiale conserve les vertus de tout ce petit monde : si $U=\,^t\!PDP$, $P$ unitaire, alors $U=\exp(i\,^t\!PHP)$ avec $^t\!PHP$ hermitienne.

cartonné · October 2005

Bonjour dssg,

Soit $G$ un sous-groupe de $GL(n,\Bbb C)$ compact et connexe. Soit $Lie(G)$ l'ensemble des matrices $A$ telles que
$$ \exp(tA)\in G,{\ }^{} \forall t\in\Bbb R,$$

alors $$\exp:Lie(G)\hskip 1cm\to G$$ est surjective.

Si $G=U(n)$, alors l'espace vectoriel réel $Lie(G)$ est formée des matrices antihermitiennes.

Ce résultat remonterait à Elie Cartan.

Quel temps fait-il du côté du duché?

Mrleduc · October 2005

Bonsoir cartonné,

Il est fait beau au duché et la duchesse se joint à moi pour féliciter les responsables du forum et les intervenants.

C'est vraiment bien ce que vous faites.

Cette histoire d'exponentielle m'intrigue. Evidmment, la surjectivité ne suppose pas que le groupe soit compact. Exemple bien connu est le cas de $GL(n,C)$...

La connexité est évidemment necessaire si l'on veut la surjectivité.

Mais y a-t-il une CNS pour la surjectivité? Ou à défaut quelque condition nécessiare plus subtile que la connexité?

Quel temps fait-il sur la route d'Orléans?

Pi1 · October 2005

recoucou!

Dis moi dssg, tu me dis donc que toute matrice unitaire est diagonalisable via Un(C), je ne connaissais pas ce résultat ( dsl je ne fais que de la physique) , pourrais-tu me donner la démonstration?

Je te remercie d'avance!

Bonne fin de soirée

Pi

Mrleduc · October 2005

c'est le cas de toute matrice qui commute avec sa transconjuguée.

L'idée de base est que le noyau et l'image sont ens omme directe (et orthogonaux pour le produitscalaire hermitien).

Bon courage

dssg ronfle apres un dîner bien arrosé

matrice unitaire sous forme d'exp

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Bonjour!

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