Variables indépendantes

Bonjour,

On se donne $X, Y$ deux variables aléatoires sur $\Omega$ qui prennent un nombre fini de valeurs.
Peut-on construire une variable $Y'$ de même loi que $Y$ qui est indépendante de $X$ et de $Y$ ?
Je me rends compte que je ne dispose pas d'outils pour répondre à ce genre de questions...

Merci d'avance,

Michal

Réponses

  • Ca va dépendre de la taille de $\Omega$. par rapport à l'information portée par $X$ et $Y$.

    Par exemple si $\Omega=\{1,\dots,n\}$, avec $n\ge 2$, $X(\omega)=Y(\omega)=\omega$ et que $\mathbb{P}$ est la loi uniforme sur $\Omega$, la réponse est évidemment négative.
  • Et si $\Omega$ est suffisamment gros ?
  • Bonjour,
    connais-tu la loi de Y ?
    Si tu connais explicitement la loi L de Y (à savoir la probabilité de chaque issue, les issues étant en nombre fini), c'est facile de construire Y' de loi L et indépendante de X et Y.

    Si tu ne connais pas la loi de Y, c'est une autre histoire ! Peux-tu au moins avoir des séries statistiques sur des échantillons (finis, mais aussi grands que l'on veut) suivant la loi de Y ?


    PS. je n'ai pas du tout compris la ligne d' Aléa : << Par exemple si ... >>
  • Formalisons tout ça.
    Soit $n$ un entier naturel avec $n\ge 2$.
    Je prends $\Omega=\{1,\dots,n\}$, que je munis de la tribu de ses parties, et pour $\mathbb{P}$ on prend la loi uniforme sur $\Omega$.

    Je note $X$ l'application identité sur $\Omega$; $X(\omega)=\omega$. C'est une variable aléatoire.

    Je dis qu'il n'existe pas de variable aléatoire $Y'$ sur $(\Omega,\mathcal{P}(\Omega),\mathbb{P})$ qui soit indépendante de $X$ et suive la même loi que $X$.
  • Ben si, il existe "ma" variable aléatoire Y'=X' , définie de la même façon que "ta" variable, mais on les considère chacun "dans son coin", et donc elles sont nécessairement indépendantes. Exactement comme on dit : soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi.

    Pourquoi donner un exemple si bizarre pour parler simplement de la loi uniforme sur un ensemble fini ?
    Michal parle de valeurs prises par ses variables aléatoires, donc je suppose qu'il est dans R , ou R^n ....
  • "dans son coin" $\Longrightarrow$ "pas sur $\Omega$", ce qui était la question posée.
  • Ben si, sur le même Omega que toi...
    "dans son coin" ==> indépendance
    On ne se comprend pas.
  • Je crois que tu confonds l'espace $\Omega$ sur lequel sont définies les variables avec l'ensemble des valeurs prises par les variables.
  • Ok, tu as pris comme exemple une variable X suivant la loi uniforme sur l'ensemble {1,...,n}
    Pourquoi on ne peut pas avoir une variable Y' de même loi et indépendante de X ?
  • Si on prend un point de vue mathématique, ça n'existe pas suspendu en l'air une variable suivant la loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$, il faut un espace probabilisé $\Omega$ sur lequel la variable est définie.
    Et c'est bien là tout le problème: sur certains espaces on pourra trouver une variable indépendante de $X$ et de même loi, et sur d'autres, non.
  • Je ne saisis pas du tout le propos de alea.
    Quel rapport entre la loi d'une v.a.r. et son (in)dépendance vis-à-vis de quelque autre v.a.r. que ce soit ?
    Je n'arrive pas à voir.
  • Eldouwen, je pense que tu fais la même confusion que Léon. Une variable aléatoire réelle est une fonction (à égalité p.s. près) d'un ensemble $\Omega$ dans $\mathbb{R}$. Le point d'aléa est que si $\Omega$ n'est pas assez gros on ne peut pas construire de variables indépendantes.

    Détaillons l'exemple d'aléa sur un cas trivial. Je considère le lancer d'une pièce.
    Mon ensemble est $\Omega = \{ P, F\}$, la probabilité associée est
    $\mathbb{P}(P) = 0.5$, $\mathbb{P}(F) = 0.5$.
    Sur cet ensemble probabilisé je construis la v.a. $X(P)=1$ et $X(F)=0$.
    Il s'agit d'une v.a. qui suis une loi de Bernoulli de paramètre $0.5$.
    Sur cet ensemble il n'y a que deux variables aléatoires qui suivent une Bernoulli : X et Y = 1-X.
    Et elles ne sont pas indépendantes.

    P.S: il n'est par exemple pas tout a fait évident qu'il existe une suite de Bernoulli i.i.d. Pour le justifier il faut
    prendre un $\Omega$ suffisamment gros...
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