Régularité elliptique ou quelque chose...

dans Analyse
Bonjour,
un copain m'a brièvement parlé d'un truc qui dit que
si $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$, si $u$ (à valeurs réelles) est $C^2$ sur $U$, et
1) si $u$ est $L^2$
2) si le laplacien de $u$ est $L^2$
alors
toutes les dérivées partielles d'ordre $1$ ou $2$ sont $L^2$. Avec même une inégalité précise sur la norme $L^2$.
Je voudrais (déjà savoir si c'est vrai, et si oui) une référence pour ce genre de choses. Et puis, auriez-vous en magasin une version bébé de ce truc qui permet de faire "sentir" le phénomène ? Genre de l'algèbre linéaire ?
Merci par avance !
un copain m'a brièvement parlé d'un truc qui dit que
si $U$ est un ouvert de $\mathbb{R}^n$, si $u$ (à valeurs réelles) est $C^2$ sur $U$, et
1) si $u$ est $L^2$
2) si le laplacien de $u$ est $L^2$
alors
toutes les dérivées partielles d'ordre $1$ ou $2$ sont $L^2$. Avec même une inégalité précise sur la norme $L^2$.
Je voudrais (déjà savoir si c'est vrai, et si oui) une référence pour ce genre de choses. Et puis, auriez-vous en magasin une version bébé de ce truc qui permet de faire "sentir" le phénomène ? Genre de l'algèbre linéaire ?
Merci par avance !
Réponses
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En dimension $1$, en supposant par exemple le support compact, une intégration par parties (le terme intégré doit être nul) donne avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz : \[
\left|\int_\R u'^2\right|=\left|-\int_\R uu''\right|\le\left(\int_\R u^2\right)^{1/2}\left(\int_\R\bigl(u''\bigr)^2\right)^{1/2}.\] -
Il me semble que ce genre d'inégalité porte le nom d'inégalité de Kolmogorov en général.
-
Génial ! Merci beaucoup !
EDIT : Yes, Poirot, pas en français mais en anglais oui : voir sur wiki. Merci pour le mot-clef ! -
Oui ce résultat est vrai, ils en parlent un peu sur wikipédia.
Tu devrais trouver à peu près tout ce que tu veux dans le livre d'Evans Partial differential equations chapitre 6. Ce qui t'intéresse est plus précisément la partie 6.3 et tu trouveras une heuristique de pourquoi le résultat est vrai à la page 326.
Je te propose une autre façon de voir la chose avec la transformation de Fourier (et avec les mains). On a
\[
-\Delta u = (\mathcal F^{-1} \circ M[\|\xi\|_2^2] \circ \mathcal F ) u
\]
où $M[g] : f \mapsto f\cdot g$ est l'opérateur de multiplication par $g$. Maintenant on a aussi
\[
-\partial_{ab}^2 u = (\mathcal F^{-1} \circ M[\xi_a \xi_b] \circ \mathcal F ) u.
\]
Puisque la transformée de Fourier est une isométrie de $L^2$ on sait que $(M[\|\xi\|_2^2] \circ \mathcal F) u $ est dans $L^2$ et a même norme que $-\Delta u$. On sait que $|\xi_a\xi_b| \leq \xi_a^2 + \xi_b^2 \leq \|\xi\|_2^2$ donc $ (M[\xi_a \xi_b] \circ \mathcal F ) u$ est dans $L^2$ et a une norme plus petite que $-\Delta u$. On redonne un coup de $\mathcal F^{-1}$ à gauche de tout ça et on obtient bien
\[
\left\|-\partial_{ab}^2 u\right\|_{L^2} \leq \|-\Delta u\|_{L^2}.
\]
PS : on dit que le Laplacien est elliptique parce que son symbole principal est la fonction $\xi \mapsto \langle \xi , \xi \rangle_{\R^n} $ (qui apparait dans l'opérateur de multiplication) et que la matrice associée à cette forme quadratique est symétrique définie positive. Les notions d'équations paraboliques ou hyperboliques proviennent aussi de cette observation. -
Coucou Corto,
j'avais vu mais le semestre a repris et je n'ai plus le temps de réfléchir à ce qui m'intéresse. En plus, l'année où j'aurais pu apprendre les EDP, j'ai commencé à suivre le cours, le prof a recommandé le livre de Evans, puis mes résultats ont été mauvais et j'ai déprimé... et je n'ai pas voulu rouvrir le livre de Evans depuis. Mais c'est l'occasion ! Je vais regarder.
Ton truc de la transformée de Fourier est ouf, en tout cas, puisqu'il rend ce truc vrai comme cas particulier d'un truc super général et trivial ! -
Salut Abitbol
Ok, c'est juste que je n'étais pas sûr que tu aies vu ma réponse ;-)
Si ça peut te rassurer l'heuristique dans le livre d'Evans est vraiment courte, il met la fonction $\Delta u$ au carré, fait deux IPP et c'est terminé. Bon la partie compliquée après c'est de démontrer que ces calculs formels sont corrects et de les adapter au cas où l'on travaille sur un ouvert $\Omega$ et pas forcément $\R^n$ tout entier. La démonstration rigoureuse du théorème qui t'intéresse fait d'ailleurs 3 pages et demi, là ça risque de te rappeler de mauvais souvenirs malheureusement.
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