Différentiabilité et continuité de Lipschitz

Bonjour
Je cherche à démontrer qu'une fonction $f:K\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ continûment différentiable, avec $K$ compact, est lipschitzienne sur $K$.

Si $K$ est convexe, alors on peut démontrer ce résultat avec le théorème des accroissements finis.

Si $K$ n'est pas convexe, je bloque sur la preuve.

Soit $x\in K$. Alors comme $f$ est différentiable il existe $\delta>0$ et $L_1>0$ tel que $\| f(x) - f(y) \| \le L_1 \| x - y \| $ si $\|x-y\|\le \delta$. Comme $f$ est bornée sur $K$, il existe $L_2>0$ tel que $\| f(x) - f(y) \| \le L_2 \| x - y \| $ si $\| x - y \| \ge \delta$. On pose $L = \max\{L_1,L_2\}$, et on montre que $\| f(x) - f(y) \| \le L \| x - y \| $.

Maintenant $L$ dépend de $x$, comment trouver une constante de Lipschitz pour $K$ ?

Réponses

  • Tu bornes (globalement) $f'$. Mais "continument différentiable" sur un compact quelconque, c'est spécial car $f'$ est possiblement multivoque. Tu devrais un peu préciser tes conditions (les termes d'une suite et sa limite forment un compact, mais comme ensemble de départ d'une différentiable, c'est un peu interrogeant sur la définition retenue).

    Quoiqu'il en soit, ce sera plus la connexité par arcs qu'autre chose qui va jouer.

    Précise "différentiable".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Tu bloques sans doute parce que le résultat est faux. Bon déjà il faudrait savoir ce que l'on entend par différentiable sur un compact puisqu'au bord il peut y avoir des problèmes de définition. Je te propose un contre-exemple qui m'a l'air "raisonnable" vis à vis de la question de la différentiabilité au bord.

    Prends par exemple une suite réelle $(x_n)_n$ strictement décroissante de limite $0$ et prends comme compact $K = \{0\} \cup \bigcup_{n\in \N} I_n $ où les intervalles $I_n$ sont de la forme $[x_n, x_n + \varepsilon_n]$ avec $\varepsilon_n >0$ assez petits pour que les $I_n$ ne s'intersectent pas. L'ensemble $K$ est bien un compact de $\R$. On définit maintenant une fonction $f$ sur $K$ par $f(0) = 0$ puis $f$ est constante sur chaque $I_n$ et y prend la valeur $a_n$. On voit que la fonction $f$ est bien continument différentiable sur $K\backslash \{0\}$ et qu'elle y admet un dérivée nulle. Maintenant si l'on pose $a_n = (-1)^nx_n^2$ on voit de plus que $f$ est dérivable en $0$ puisque $(f(x_n)-f(0))/x_n = (-1)^n x_n$ qui tend vers $0$ donc $f$ est dérivable continument sur $K$ (de dérivée nulle).

    Maintenant en prenant deux $x_n$ consécutifs on remarque que l'on a
    \[
    \left|\frac{f(x_n) - f(x_{n+1})}{x_{n}-x_{n+1}}\right| = \left|\frac{x_n^2+x_{n+1}^2}{x_{n}-x_{n+1}}\right|
    \]
    On voit qu'en rapprochant assez les $x_n$ les uns des autres on se retrouve avec une fonction non lipschitzienne. Par exemple avec $x_n = n^{-1/3}$ on trouve $x_n^2+x_{n+1}^2 \sim_\infty 2 n^{-1/3} $ et $x_n-x_{n+1} \sim_\infty\frac{1}{3}n^{-4/3} $ d'où
    \[
    \left|\frac{f(x_n) - f(x_{n+1})}{x_{n}-x_{n+1}}\right| \sim_\infty 6n
    \]
    ce qui montre que la fonction n'est pas Lipschitzienne.

    Ce contre exemple est inspiré de la fonction $x \mapsto x^2\sin(1/x^3)$, en restreignant cette fonction au bon compact $K$ on retrouve le même type de contre-exemple que j'ai donné.

    En espérant ne pas m'être trompé 8-)
  • @Corto, non tu ne t'es pas trompé, mais avec son "compact quelconque" il s'est fait du mal tout seul ;-)

    le TAF c'est bien, mais entrecoupé par les vacances :-D ça donne des sauts.
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  • Même connexe par arc ne me parait pas directement évident, en effet on pourrait imaginer un compact $K$ tel qu'il existe deux suites de points $(x_n)_n $ et $(y_n)_n$ avec $\|x_n-y_n\| \to 0$ et la longueur du plus court chemin de $x_n$ à $y_n$ inclut dans $K$ ne tend pas vers $0$. J'imagine qu'avec ça on peut construire une fonction différentiable mais pas Lipschitzienne.

    Bon mais là je n'ai plus le temps d'imaginer des compacts tordus (du genre non localement simplement connexe) à base d'une infinité de cercles de plus en plus "zigzaguant" et de plus en plus petits et tous tangents en un même point pour ce compact $K$, je dois aller en cours :)o
  • Comme la côte bretonne (tu)
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  • Ok j'ai une idée de contre exemple plus simple que ce à quoi j'avais pensé au départ.

    On prend dans $\R^2$ le "peigne"
    \[([0;1]\times\{0\}) \cup \left( \bigcup_{n=1}^\infty \{1/n\}\times [0;1]\right) \cup (\{0\}\times [0;1])\]
    On voit très clairement que les points $(1/n,1)$ sont proches les uns des autres dans $\R^2$ mais éloignés si l'on veut les relier par un chemin dans $K$. Il n'est alors pas difficile de trouver une fonction continument différentiable sur $K$ mais pas lipschitzienne. Si on veut un compact d'intérieur non vide alors on peut juste un peu épaissir $K$. On peut alors même avoir $f$ de classe $C^1$ sur $\mathring K$ et non continue.
  • Merci Corto pour ces contre-exemples !

    Pour la notion de différentiabilité sur un compact : je pensais naïvement que c’était possible de la définir avec la topologie induite ...
  • Alexandros, on peut effectivement la définir avec la topologie induite. Mais en fait on se retrouve avec plusieurs définitions qui semblent toutes raisonnables mais qui ne sont pas équivalentes. Il y a la définition avec la topologie induite, il y a "tout point de $K$ admet un voisinage ouvert sur lequel $f$ se prolonge en une fonction $C^1$" et encore plus fort "$K$ admet un voisinage ouvert sur lequel $f$ se prolonge en une fonction $C^1$". C'est souvent cette dernière définition qu'on adopte parce qu'elle permet d'éviter des cas pathologiques comme l'exemple que j'ai donné en début de fil.
  • je pensais naïvement que c’était possible de la définir avec la topologie induite ...

    Ce n'est pas le problème. La différentiabilité de $f$ en $a$ traduit le fait qu'au voisinage de $a$, il existe au moins une application affine qui "ressemble comme deux gouttes d'eau" à $f$.

    Quand ton compact est trop petit, par exemple en un point $a$ isolé, $f$ ressemble à toutes les applications affines $g$ telles que $g(a)=f(a)$. Autrement dit, tu as "plein de dérivées" en un même point. Tu peux penser par exemple à $f: \Z \to \R$ quelconque: et bien elle est "évidemment" dérivable sur $\Z$, mais pour de "mauvaises" raisons: toutes les droites sont tangentes à sa courbe. Evidemment tu peux changer les définitions, etc, mais tu vas entrer dans des usines à gaz tant que tu n'auras pas défini $f$ sur un ouvert.

    Pour que ta question ait un sens "sincère", il semble donc préférable de ne considérer que les compacts qui sont adhérence de leur intérieur. Ca réduit déjà beaucoup l'étude.

    Globalement ton truc est vrai dès lors que les conditions sont réunies pour qu'il soit "sincèrement" demandé dans ce que j'imagine être tes contextes désirés.
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