Somme d'une série paramétrée

Bonjour
L'entier $p > 1$ étant fixé, sommer la série de terme général $\quad u_{n,p} = \dfrac{p!}{n(n+1)\cdots (n+p-1)}$.
A+
Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)

Réponses

  • Bonjour,
    On peut écrire $u_{np}=v_n-v_{n+1}$.
  • Décomposition en éléments simples ?
  • On trouve $\frac p{p-1}$ comme somme si mes calculs sont bons.
  • La notation de la question initiale est défectueuse. La vraie question est : l'entier $p$ étant fixé, $p \ge 2$, calculer $\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}u_{n}$, où $u_{n}=\frac{p!}{n(n+1)...(n+p-1)}$.
    La décomposition en éléments simples conduit à des calculs compliqués. La méthode de télescopage proposée par nahar me semble la meilleure.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • RE

    Bonne réponse de Nahar, qui semble avoir employé la méthode astucieuse ; la décomposition en éléments simples me semble trop lourde a priori.

    Question à $100$ francs : quid de la série $(\tan x/2^n)/2^n$ ?

    A+
    Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)
  • $\tan x= \cot x-2 \cot 2x$
  • J'ai gagné les cent francs (suisses) ?
  • Il doit bien exister sur le forum une collection de séries télescopiques. Sinon, on pourrait leur consacrer ce fil.
  • Ensemble de définition et calcul de : $\displaystyle F(z)=\underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{z^{2^{n}}}{z^{2^{n+1}}-1}$, $z \in \mathbb C$ ?
  • La suite de Fibonacci $(F_n)_{n \in \mathbb N}$ est définie par : $F_0=0,F_1=1$ et pour $n \ge2$ : $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$, c'est bien connu.
    Calculer $\displaystyle S= \underset {n=1}{\overset{+\infty }{\sum }} \frac{(-1)^{n-1}} {F_nF_{n+1}}$
  • D'après l'identité de Cassini, $F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2 =(-1)^n$, donc, pour tout $N \geq 1$,
    $$\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^{n-1}}{F_nF_{n+1}} = \sum_{n=1}^N \left ( \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} - \frac{F_{n+1}}{F_n}\right) = \frac{F_{N+2}}{F_{N+1}} - \frac{F_2}{F_1}$$
    et la série converge vers $\varphi - 1$.
  • RE

    Gilles m'a devancé !

    A+
    Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)
  • Pour en revenir à $\displaystyle f(x)=\underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{2^{n}}\tan \frac{x}{2^{n}}$.
    Pour $0<x<\frac{\pi }{2}$, on a : $\tan x=\cot x-2\cot 2x$.
    D'où pour $0<x<\pi $ : $\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{2^{k}}\tan \frac{x}{2^{k}}=%
    \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}(\frac{1}{2^{k}}\cot \frac{x}{2^{k}}-\frac{%
    1}{2^{k-1}}\cot \frac{x}{2^{k-1}})=\frac{1}{2^{n}}\cot \frac{x}{2^{n}}-\cot x%
    \underset{n\rightarrow +\infty }{\longrightarrow }\frac{1}{x}-\cot x$.
    Ce qui prouve : $f(x)=\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{2^{n}}\tan \frac{x}{2^{n}}=\frac{1}{x}-\cot x$.
    Encore vrai si $-\pi<x<0$, et pour $x=0$ en prolongeant $f$ par $f(0)=0$. Cette fonction ainsi prolongée est $
    \mathcal C^ \infty $ sur $]-\pi, \pi[$.
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
  • RE

    On peut ajouter $\tan x$ dans la somme, en modifiant le second membre en conséquence.
    On trouve de jolies choses sur les séries dans Traité de calcul différentiel et intégral de Joseph Bertrand (1864), notamment sur la fabrication ex nihilo de séries, l'exemple le plus simple étant
    $1 = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) \ + \ ... = \Sigma 1/n(n+1)$, etc.

    A propos de Joseph Bertrand, il s'inscrit dans une sacrée dynastie de savants :
    fils d'un X (médecin), père d'un X (grand géologue), X lui-même, frère d'un normalien (grand archéologue), beau-frère de Hermite, et en explorant les belles-familles on trouve Lévy (normalien et minéralogiste), Borel, Appell... Que du beau linge !

    A+
    Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)
  • RE

    Concernant la série initiale, il suffit d'écrire
    $u{_n},{_p} - u{_n},{_{p+1}} = u{_{n+1},{_p}} - u{_n},{_{p+1}}/(p+1)$, puis
    $u{_n},{_p} - u{_{n+1},{_p}} = u{_n},{_{p+1}}p/(p+1)$.
    En sommant des deux côtés, on trouve
    $ 1 = \Sigma u{_n},{_{p+1}}.p/(p+1)$ ou $\Sigma u{_n},{_{p+1}} = (p+1)/p$, soit
    $ \Sigma u{_n},{_p} = p/(p - 1)$.

    A+
    Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)
  • Je regrette que personne ne retienne ma suggestion de saisir l'occasion de ce fil pour donner une collection de séries télescopiques, ou retrouver celles qui sont sans doute éparses dans le forum.
    Et il y a aussi les produits infinis. Par exemple celui-ci, provenant d'une célèbre compétition, mais vieux de septante ans et plus :
    $\bullet $ Calculer $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=1}{\prod }}\frac{1+2\cos
    \frac{2x}{3^{n}}}{3}$.
    Bonne journée froide de saison : l'avantage avec les froides journées c'est que les pleureuses réchauffistes se taisent pour quelques heures.
    Fr. Ch.
  • RE

    Le livre de Bertrand, dont auquel j'ai fait alluvion (merci Bérurier !), contient un certain nombre d'exemples télescopiques.
    Les chapitres sur les séries du cours de Math-Spé de Comberousse (1875-1895) s'inspirent fortement (et c'est un euphémisme) du livre de Bertrand.

    A+
    Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)
  • Eh oui, Piteux_Gore, comme dit le bon sens de notre peuple : « les chiens font pas des chats ». Joseph Bertrand a été un enfant précoce, suivant à onze ans les cours de l’École Polytechnique. Un de ces surdoués dont les pédagogues progressistes nient l'existence, pour s'opposer à toute mesure en leur faveur. C'est à de tels hommes exceptionnels, et non à on ne sait quel soviet de dits « chercheurs », qu'on doit le progrès scientifique. En plus il avait une bonne tête sympathique d'homme de chez nous.
    Bonne après-midi.
    Fr. Ch.117152
  • RE

    Il avait un physique à la Balzac, je trouve.

    Son oral de l'X (passé à 11 ans !) fut rapporté dans les journaux : de mémoire, il répondit avec brio (avec qui ?) à toutes les questions, sauf à l'une d'entre elles où il hésita quelque peu.

    Voici un compte-rendu d'un autre oral de l'X (légende ?) :
    Le candidat reste muet pendant 10 mn, se contenant de fixer le tableau.
    L'examinateur : vous n'avez pas d'idée ?
    Le candidat : j'ai trouvé six solutions, et je suis en train de chercher la septième.

    A+
    Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)
  • RE
    Un autre Comberousse : sommer la série $\ \dfrac{n^2 - n + 1}{n(n+2)(n+3)(n+4)},\ $ mais j'y ajoute de la façon la plus rapide possible.
    A+
    Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)
  • Bonjour
    le terme général de la série s'écrit en multipliant haut et bas par n + 1 :
    $$
    u_n = \frac{n^3+1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.

    $$ La convergence de la série ne pose pas de problème puisque $u_n$ est équivalent à $\frac{1}{n^2}$ pour $n$ infini.
    On peut décomposer le monôme $n^3$ en polynômes factoriels avec les nombres de Stirling de seconde espèce soit :
    $n^3 = n - 3n(n+1) + n(n+1)(n+2)$ et le terme général $u_n$ devient :
    $$
    u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} - \frac{3}{(n+2)(n+3)(n+4)} + \frac{1}{(n+3)(n+4)}.

    $$ Nous connaissons la série : $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)\cdots(n+k)} = \frac{1}{k.k!}$.
    Compte tenu de ce résultat, la limite de la somme infinie proposée sera :
    $$\frac{1}{4.4!} + \frac{1}{3.3!} - \frac{1}{1.2.3.4} - \frac{3}{2.2!} + 3\Big(\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4}\Big) + \frac{1}{4} = \frac{43}{288} = 0,1493\ldots

    $$ Cordialement.
  • RE

    On peut aussi faire
    $24(n^2 - n + 1)/n(n+2)(n+3)(n+4) = 1/n - 42/(n+2) + 104/(n+3) - 63/(n+4)$
    $24(n^2 - n + 1)/n(n+2)(n+3)(n+4) = 1/n - 1/(n+2) - 41[1/(n+2) - 1/(n+3)] + 63[1/(n+3) - 1/(n+4)]$
    somme de la série (en partant de $n=1$) : $ (1 + 1/2) - 41.1/3 + 63.1/4 = 43/12$
    somme demandée = $43/12.24 = 43/288$.

    A+
    Il y a même des chiens stupides, mais en proportion bien moindre que chez l’homme. (Axel Munthe, Le livre de San Michele)
  • ancien sujet centrale
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.