puissance non entière et dérivée

Je me permet de répondre par une question (si tu connais la réponse, ça devrait de mettre sur la voie de la réponse à ta question, sinon c'est la première question à te poser) : comme définis-tu $a^b$ pour $a>0$ et $b$ un réel quelconque ?

parce que n réel , on peut trouver deux entiers relatifs tel que n~a/b avec des infinités de décimales exactes.
donc dérivé f^n revient à dériver f^(a/b) donc tu peux dériver tranquillement avec n , donc n.f'.f^(n-1)

wouaouh pas mal l'histoire de la densité de Q dans R pour pouvoir dériver je suis de plus en plus impressionné (ça devenait sans intérêt mais là ça devient vraiment du n'importe quoi).

Said, ici on est libre de dire quelque chose, pourquoi tu me dis que je ne sais pas.
Novdaacr

Bonjour

Avec les développements limités on a : $\left( {1 + \frac{h}{x}} \right)^n = 1 + n\frac{h}{x} + h \varepsilon (h)$ avec $\mathop {\lim }\limits_0 \varepsilon = 0$.

Donc on a $\frac{{(x + h)^n - x^n }}{h} = x^{n - 1} \frac{{x\left( {1 + \frac{h}{x}} \right)^n - x}}{h} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + h)^n - x^n }}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^{n - 1} \frac{{x\left( {1 + n\frac{h}{x} + h\varepsilon (h)} \right) - x}}{h}$.

Donc $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^{n - 1} \frac{{nh + xh\varepsilon (h)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^{n - 1} (n + x\varepsilon (h)) = nx^{n - 1} $.

Donc par une fonction composée on trouve que : $\left( {\left( {f(x)} \right)^n } \right)' = n\left( {f'(x)} \right)\left( {f(x)} \right)^{n - 1} $.

Voilà, j'espère avoir bon avec un niveau de TS.

Cordialement Yalcin