L'intégrale de Kurzweil-Henstock

Salut
J'ai lu un petit peu sur l'intégrale de Kurzweil-Henstock (H-K), et je la trouve très forte, surtout qu'on a toujours : int(f')=f(b)-f(a) et toute fonction intégrable au sens de Lebesgue (ou Riemann) est H-K intégrable (pas l'inverse).

Je me demande pourquoi l’intégrale de H-K n'est pas enseignée au lieu de l'intégrale de Riemann ou de Lebesgue.
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Réponses

  • Bonjour.

    1) elle est enseignée.
    2) à petit niveau, on peut se contenter de notions d'intégrales plus simples.
    3) En France, on n'enseigne plus vraiment l'intégrale de Riemann à bac +1 (à confirmer par les profs de prépa)
    4) l'intégrale de Lebesgue se généralise bien, pas celle de H-K.

    Cordialement.
  • Il y a peu d’occurrences de Kurzweil-Henstock sur le forum.

    Je ne comprends pas pourquoi l'intégrale de Kurzweil-Henstock n'est pas abordée en L1, quand à Lebesgue vue comme un cas particulier de Kurzweil-Henstock je ne comprends pas non plus KH ne serait pas "généralisable".

    Je n'ai pas vraiment creusé mais l'utilisation du lemme de Cousin m'a paru assez élégante.

    J'ai trouvé deux ressources intéressantes : Jean Mawhin (cours complet d'analyse à la Belge = on t'explique pour comprendre) "Son interprétation géométrique conduit très naturellement à une approche nouvelle de l’intégrale, due à Kurzweil et Henstock, que nous enseignons depuis une vingtaine d’années. Formellement très proche de celle de Riemann, dont elle conserve le support intuitif et la simplicité technique, cette définition fournit une intégrale plus puissante que celle de Lebesgue capable, en particulier, d’intégrer toutes les dérivées. " et Jean-Pierre Demailly. Ce dernier indique le caractère particulièrement bancal de l'intégrale de Riemann tant d'un point de vue mathématique que didactique.
    "J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
  • Xax : Bon déjà je ne sais pas si tu es au courant mais tu déterres un fil vieux de presque un an :-D

    Il y a déjà eu plusieurs fils sur l'intégrale KH sur le forum, la question de savoir "quelle théorie de l'intégrale devrait-on enseigner en L1" est aussi revenue plusieurs fois.

    Un des gros problèmes de l'intégrale KH est justement qu'elle est méconnue et à peu près jamais enseignée en France. Essayes de te pointer aux oraux de l'agreg ou du CAPES et regarde la tête du jury quand tu leurs annonces que toute fonction dérivée est intégrable 8-)

    Je suis d'accord avec toi que l'intégrale de Riemann (ou assimilées) n'est pas franchement pratique ceci dit.
  • Salut.

    En lien avec le sujet, un texte de Hervé Queffélec.

    http://134.206.83.16/Publications/Gazette/2012/132/smf_gazette_132_47-60.pdf
  • @Corto je m'en fiche un peu des jurys :-) je cherche juste en ce moment à me remettre en tête les objets mathématiques élémentaires et je me rends compte que je ne m'en rappelle plus. L'intégration je ne m'en souviens absolument pas. Je lis dans le Dixmier que l'enseignement de l'intégration pose un problème, que le "fatras" (sic) habituellement enseigné (Riemann) ne sert à rien (il choisit de passer par les fonctions boréliennes sans démos).

    @b.b. merci beaucoup, le texte de Queffélec est bien (1), il liste les cas où l'intégrale de Riemann reste intéressante, tout en abordant rapidement ses limites. La contextualisation de Lebesgue est bien aussi, l'introduction probabiliste est sympa, en peu de pages on comprend bien les tenants et aboutissants.

    Bon ceci dit ce qu'indique Queffélec sur la carence surprenante dans l'enseignement de la mesure - même élémentaire - confirme ma première impression d'un "problème" à ce niveau.
    D'autre part si l'intégrale de Kurzweil-Henstock est formellement très maniable, et d'une généralité supérieure à celle de Lebesgue (Queffélec expose un cas qui est intégrable au sens KH mais pas Lebesgue mais n'en détaille pas le traitement et renvoie à la biblio), sa construction théorique n'est pas si simple que ça.
    Il préconise d'enseigner Riemann -> taupins / L3 puis Lebesgue ensuite.

    Après une lecture rapide je dirais plutôt : Riemann / KH en parallèle, je pense que l'observation comparée de la construction des objets et ce que l'on va en faire ensuite est certainement bien plus enrichissante, puis Lebesgue comme cas ~voisin-dérivé de KH avec le déroulé des probas.

    (1) Au passage il déplore l'état de l'enseignement ... c'est triste de lire ce qu'il mentionne (qu'on prenne les élèves de terminale pour des débiles notamment).
    "J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
  • Quelqu'un a dit a écrit:
    "l'intégrale de Kurzweil-Henstock est ... d'une généralité supérieure à celle de Lebesgue"

    Cette phrase me fait rire!. Est ce une blague ?

    La puissance de la théorie de Lebesgue, c'est qu'elle permet d'intégrer des fonctions sur n'importe quel espace mesuré alors que K-H ne trouve son intérêt que dans $\R$ ou $\R^n$. Ce n'est pas suffisant, on a besoin d'aller plus loin.
    Le KH permet d’intégrer un peu plus que L ou R dans $\R$ ou $\R^n$

    Surement vous voulez détruire l'analyse fonctionnelle et le calcul des probabilités avec ce KH
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • @gebrane :-D je te rassure, je pensais évidemment à ce cas, mais dans son domaine de validité, je maintiens : Kurzweil-Henstock est d'une généralité supérieure à Lebesgue, cf. exemple de Queffélec p12 http://134.206.83.16/Publications/Gazette/2012/132/smf_gazette_132_47-60.pdf
    Je pensais que la progression pédagogique indiquée ensuite était claire.
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  • Comme je l’avais déjà dit, même si celle de Riemann a ses défauts, il faut quand même reconnaître qu’il s’agit d’une théorie très intuitive et ainsi qu’elle donne un cadre précis « ordinaire » sans passer par tout le pavé de la théorie de la mesure.
    C’est surtout cela le frein à celle de Lebesgue.

    D’ailleurs n’est-ce pas pertinent de se dire que préférer Lebesgue et ne pas enseigner Riemann c’est comme ne jamais évoquer les séries semi-convergentes pour ne parler que des familles sommables ? (C’est une intégrale avec la mesure de comptage).
    J’y verrais une perte d’une certaine richesse mathématique.
  • @Dom oui c'est pour ça que j'ai écrit : Riemann / KH en parallèle, puis Lebesgue. Je viens de voir que l'école belge est prolifique en ma matière, après Jean Mawhin dont j'ai donné le lien, il y a :
    Intégration, de Riemann à Kurzweil et Henstock - La construction progressive des théories « modernes » de l'intégrale (Laurent Moonens).
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  • Je ne connais pas KH.
    Par contre j’ai cru comprendre que si KH arrive avant Lebesgue, alors Lebesgue n’aurait peut-être pas existé (sauf comme gebrane le mentionne, pour d’autres ensembles d’intégration).
  • Xax : ok pour les jurys, je répondais plus au premier message sur la partie "pourquoi on n'enseigne pas KH" et je pensais que tu cherchais à continuer cette discussion.

    Quelques remarques en vrac :
    1)Quand on parle d'intégrale de Riemann il est fréquent qu'il ne s'agisse pas de la "vraie" intégrale de Riemann mais d'intégrales moins générales : intégration des fonctions continues par morceaux ou intégration des fonctions réglées par exemple. Il faut donc un peu se méfier quand on lit des auteurs parler de fatras vis à vis de l'intégrale de Riemann, le "fatras" de l'intégration en L1/L2 est parfois légèrement différent, bien qu'on lui donne le même nom. L'intégration des fonctions réglées possède (selon moi) des avantages par rapport à la théorie de Riemann, même si on se retrouve avec les mêmes problèmes (théorèmes de convergence, intégrales impropres etc).

    2)L'intégrale KH est-elle plus générale que Lebesgue ? Oui et non... Comme souligné par Gebrane l'intégrale de Lebesgue se généralise à plus de structures que l'intégrale KH qui est quand même globalement cantonnée à $\R^n$. D'un autre côté sur $\R^n$ il y a strictement plus de fonctions KH-intégrables que de fonctions Lebesgue intégrables. Cependant je prendrais avec des pincettes de telles affirmations. Prenons l'exemple généralement donné du sinus cardinal sur $\R$, il est KH intégrable mais pas Lebesgue intégrable. Mais quand on regarde la définition de la KH intégrale sur $\R$ on voit qu'il s'agit exactement du même procédé que pour les intégrales de Riemann généralisées : on intègre sur $[x;y]$ puis on prend la limite $x \to - \infty$ et $y \to +\infty$. Ce truc là on peut bien le faire avec l'intégrale de Lebesgue aussi. J'ajouterais que je n'ai jamais vu personne prétendre la supériorité de l'intégrale de Riemann sur Lebesgue dans le calcul de $\int_\R \frac{\sin(x)}{x} \mathrm dx$. Il existe peut être des fonctions KH-intégrables qui ne sont pas intégrables au sens de Lebesgue généralisé mais je ne connais pas d'exemple.

    3) Tu dis "Après une lecture rapide je dirais plutôt : Riemann / KH en parallèle", dans un monde idéal pourquoi pas, dans la réalité on n'a qu'un nombre fini d'heures de mathématiques en fac/prépa ;-)
  • @Corto merci beaucoup; pour ton point 3), apparemment ça se fait,cf. p.j. Je viens de voir aussi (lien Wikipédia) qu'un professeur de prépa bien connu s'était penché sur la question :-) Il expose de façon très détaillée avec son beau style ce qui n'était ici pour moi qu'une intuition assez faiblement étayée.
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  • Il y a des avantages à KZ, il y en a d'autres à Lebesgue, par exemple dès que l'on s'intéresse à l'analyse fonctionnelle ou à l'interprétation probabiliste.

    De mémoire avec KZ on perd $f$ intégrable implique $|f|$ l'est et $\left| \int f \right| \leq \int |f|$, ce qui est une vraie perte.

    Ce serait une notion intéressante à présenter, entre Riemann (dont je doute que ce soit encore vraiment fait) et Lebesgue.

    Un de mes amis retraité est tchèque et a connu Kurzweil (il l'avait eu comme prof), même ce dernier ne voyait pas l'enseignement de son intégrale comme prioritaire si j'ai bien compris, et elle n'est plus nécessairement enseignée à Prague, Brno ou Olomouc.

    EDIT : coquille dans formule LATEX
  • @math2 c'est intéressant, c'est l'éclatement de la Tchécoslovaquie qui a relancé KH chez les Belges :-)

    Mais oui voir la question de l'intégration sous différentes approches c'est ce qui me parait le plus intéressant.
    "J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
  • Corto écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1936108,2177640#msg-2177640
    > Un des gros problèmes de l'intégrale KH est justement qu'elle est méconnue et à peu près jamais enseignée en France.
    > Essayes de te pointer aux oraux de l'agreg ou du CAPES et regarde la tête du jury quand tu leurs annonces que toute
    > fonction dérivée est intégrable 8-)

    Il y a pire. Mon fils va passer un bac technique. On lui présente l'intégration à travers les sommes de Riemann puis on lui balance que toute fonction est l'intégrale de sa dérivée. Je lui ai simplement dit que c'était faux pour l'intégrale de Riemann (qui était celle qu'on lui enseignait) vrai pour l'intégrale de Riemann si, mais pas seulement, la dérivée est continue (j'ai au passage expliqué ce qu'était une fonction continue : cette notion n'est pas enseignée aux bacs techniques) et que je connaissais trois types d'intégrales différentes et que pour un seul type d'intégrale la fonction dérivée est toujours intégrable. La morale de l'histoire c'est qu'un élève de bac technique qui n'a pas de prof de maths dans sa famille ou dont les parents ne paient pas des cours particuliers a peu de chances de réussir des études technico-scientifiques plus tard.
  • La réponse que j'avais faite à Hervé:
  • @AlainLyon:
    Je suppose que tu parles du bac STI2D?
    Effectivement, la notion de fonction continue n'est pas au programme. D'ailleurs, la notion de limite n'est même plus abordée comme chapitre en soi, mais au détours d'autres notions.
    La résolution des équations du second degré et de discriminant a également disparu du programme.
    Je suis très mal à l'aise avec ce nouveau programme, où on présente par exemple les fonctions logarithmes et exponentielles de manière "magiques". Ou alors je n'y ai rien compris.
    Cela acte sans doute une vraie chute du niveau des élèves que nous recevons.
    Ils avaient déjà de réelles difficultés à s'adapter au niveau des IUT, cela ne va pas s'arranger.

    Cela dit, un élève motivé et qui a un minimum de capacités pourra, après une adaptation un peu rude, certes, poursuivre vers des études intéressantes (je ne sais pas ce que tu conçois dans tes "études technico-scientifiques".
    Il y a également des prépas qui leur sont adaptées, (j'ai 4 ou 5 élèves dans ma classe qui vont s'y diriger) où ils recevront un enseignement plus adapté et rigoureux que ne le propose ce bac "technique".
  • AlainLyon,

    à quoi sert de faire ces distingos (ce n'est d'ailleurs pas l'intégrale de Riemann qui lui a été présentée !!) ? Alors qu'en secondaire, l'intégrale c'est, pour une fonction positive "l'aire sous la courbe". Non définie. Et que les seules intégrales qu'il va utiliser, sauf réorientation, sont celles de fonctions continues (parfois par morceaux). Tu ne fais que compliquer la vie à ton fils.

    De ce point de vue, la situation n'a pas vraiment changé depuis 40 ans, et déjà, un élève de F1 (STI puis STIDD) devait faire un gros travail d'adaptation pour suivre une licence de science. Mais c'était possible. Le vrai problème c'est la grande faiblesse en calcul algébrique, qui rend incompréhensible les cours de toutes les matières scientifiques.

    Cordialement.
  • @aléa merci beaucoup !
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  • @aléa : Pour autant que je me souvienne, j'ai suivi à Jussieu un cours de licence (L3 maintenant) intitulé "Intégration et probabilités" où l'on n'a hélas parlé que d'intégration.
    Le point très positif, c'est que ceux qui se sont ensuite inscrits dans un cours de proba en maîtrise (M1 maintenant) avaient d'excellentes base en TM et, pour la plupart, se sont ensuite baladés à l'option Proba de l'agreg externe (option qui n'existe plus).
    Puisque je t'ai sous la main, je cherche un bouquin de proba basé sur la TM sans que ce soit trop technique.
    Que me conseilles-tu ?
    Quid de tes livres ?
  • Théorie de la Mesure, semble-t-il.
  • ronan a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1936108,2178062#msg-2178062
    @AlainLyon:
    Je suis très mal à l'aise avec ce nouveau programme, où on présente par exemple les fonctions logarithmes et exponentielles de manière "magiques". Ou alors je n'y ai rien compris.

    Effectivement les élèves auraient, si on leur demandait, beaucoup de mal à expliquer que la fonction exponentielle est $\mathcal{C}^\infty$ autrement que par "parce qu'elle est égale à sa dérivée" ce qu'on leur a demandé d'admettre sans discussion ! Ceux qui conçoivent le programme de STI2D méprisent la jeunesse.
  • Je ne comprends pas cette phrase. Le fait que l'exponentielle soit égale à sa dérivée est une très bonne façon de montrer qu'elle est indéfiniment différentiable, non ?

    Veux-tu dire que les élèves doivent discuter (de) la pertinence de la définition de l'exponentielle comme l'unique fonction égale à sa dérivée et qui prend la valeur $1$ en $0$ ?
  • Math Coss a écrit:
    Veux-tu dire que les élèves doivent discuter (de) la pertinence de la définition de l'exponentielle comme l'unique fonction égale à sa dérivée et qui prend la valeur $1$ en $0$ ?

    Je veux dire qu'on ne leur démontre pas que l'exponentielle est égale à sa dérivée et que c'est ce qu'ils attendent d'un enseignant car ils ne conçoivent pas une puissance réelle du nombre $e$ : c'est comme si on leur demandait de comprendre dès les premières paroles une langue étrangère !
  • Dom a écrit:
    Je ne connais pas KH.
    Par contre j’ai cru comprendre que si KH arrive avant Lebesgue, alors Lebesgue n’aurait peut-être pas existé (sauf comme gebrane le mentionne, pour d’autres ensembles d’intégration).

    Avec Lebesgue on peut intégrer selon pleins de mesures différentes, si j'en crois wikipédia l'intégrale KH ne donne que l'intégration selon la mesure de Lebesgue. Mais nul doute qu'on aurait pu modifier ça à la manière de Stieltjes pour ainsi obtenir l'intégrale de Stieltjes-Kurzweil-Henstock.

    Personnellement je suis content que l'histoire ne se soit pas déroulée comme ça, intégrale de Lebesgue c'est quand même plus simple à prononcer (:D
  • Stieltjes ce n'est pas très facile non plus, et même à écrire (:D.
  • Riemann et Lebesgue sont faciles à prononcer en français mais plus difficiles à écrire
  • Je viens de retrouver un autre fil plus ancien où il y a de la biblio supplémentaire (merci Chaurien) et des discussions intéressantes http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1180537,page=1

    Comme je le craignais aussi pour la question de l'enseignement l'effondrement du niveau rend difficile un approche comparée progressive, plus que le temps semble-t-il.
    "J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
  • @AlainLyon: Les élèves de de bac technologiques (ex-techniques sti voire F...) sont dans leur grande majorité des élèves un peu (beaucoup ?) fragiles pour lesquels les mathématiques seront un outil.
    Notre problématique est qu'ils aient un niveau technique pas trop mauvais, et qu'ils comprennent et sachent utiliser ces outils.
    Ce que tu sembles attendre de nous me semble à mille lieux de notre réalité.
  • Bravo xax d'avoir retrouvé ce fil. Il me semblait bien que j'avais exposé longuement mon avis sur la question, mais je suis toujours embêté par la recherche de fils anciens. Je n'ai pas changé d'opinion sur le fond de la question, mais la dégradation de la situation se poursuit dans l’Éducation Nationale, au rythme des évolutions disons sociologiques. Alors dans ce désastre, l'enseignement de telle ou telle intégrale en Terminale, ce n'est plus trop le problème majeur.
    Bonne après-midi.
    Fr. Ch.
  • @AlainLyon on peut effectivement très bien envisager un joli parcours bac F (je connais pas les dénominations actuelle) -> IUT -> ingé mais je pense qu'il faut vraiment s'accrocher. Après il est possible de reprendre après une interruption après le DUT via le CNAM. Avantage pour ce dernier parcours : la compétence, inconvénient : le manque de reconnaissance, le temps (en conservant une activité pro il faut compter 6 ans).

    Quant à la question de l'apprentissage des maths, hors "grands lycées" "établissements dérogatoires" etc. il faut se demmerder tout seul.
    "J'appelle bourgeois quiconque pense bassement." Gustave Flaubert
  • @gai requin: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1936108,2178080#msg-2178080
    je pense que Garet-Kurtzmann correspond à ce que tu cherches.
    On a laissé de côté les trucs trop techniques, genre construction de la mesure de Lebesgue avec les mesures extérieures.
    Si tu as des questions plus précises, je me ferai un plaisir de répondre;
  • Merci aléa !
    J'ai donc jeté un coup d'œil aux sommaires de tes deux bouquins de proba, c'est alléchant.
    Je vois que le second opus, niveau M1, s'appuie notamment sur la notion d'espérance conditionnelle dont je pensais qu'elle était d'un niveau plus élémentaire.
    Mais effectivement, dans mon vieux Foata-Fuchs, on dit que c'est un sujet difficile et on ne la définit que dans les cas où le couple de VA est discret ou absolument continu.
    Enfin, enseignant au lycée, je me réjouis que les programmes se soient replacés dans le cadre des univers finis avec le retour du dénombrement même si, comme on le voit dans votre appendice A, compter est toujours un peu bancal quand on se passe du principe de bijection !
  • Foys
    Modifié (January 2022)
    gai requin a écrit:
    Mais effectivement, dans mon vieux Foata-Fuchs, on dit que c'est un sujet difficile et on ne la définit que dans les cas où le couple de VA est discret ou absolument continu.
    Dans tout ce message, $(\Omega,\mathcal A,P)$ est un espace probabilisé.

    Comprendre l'espérance conditionnelle est très facile: étant données un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal A,P)$ et une sous-tribu $\mathcal B$ de $\mathcal A$, c'est juste la projection orthogonale de l'espace de Hilbert $L^2(\Omega,\mathcal A,P)$ sur son sous-espace fermé $L^2(\Omega,\mathcal B,P)$ avec les identifications évidentes de fonctions égales p.s; projection dont on montre qu'elle peut se prolonger par continuité en application linéaire de $L^1(\Omega,\mathcal A,P)$ à $L^1(\Omega,\mathcal B,P)$, en récoltant au passage la caractérisation suivante qui est l'ingrédient principal et presque exclusif de 98.77% des applications et exos d'espérance conditionnelle: pour tous $X;Y\in L^1(\Omega,\mathcal A,P)$ tels que $Y$ est $\mathcal B$-mesurable, il y a équivalence entre les 3 énoncés suivants (les égalités étant évidemment comprises au sens presque sûr):
    (i) $E(Y\mid \mathcal B )=X$
    (ii) pour tout élément $Z\in L^{\infty} (\Omega,\mathcal B,P)$, $E(ZX)=E(ZY)$
    (iii) pour tout $U\in \mathcal B$, $E(\mathbf 1_U X) = E(\mathbf 1_U Y)$

    Ces résultats avec tous les calculs se démontrent essentiellement en une page, on a besoin des propriétés de base des espaces de Hilbert et comment prolonger une application uniformément continue (en fait en l'espèce: continue et linéaire) dans des espaces de Banach.

    Ce qui est difficile est de comprendre ce que veut vraiment dire cette notion et pourquoi on parle "d'espérance" conditionnelle (cela passe par des outils de désintégration des mesures; cf le manuel de probabilités d'Ouvrard pour l'agrégation; les preuves sont très techniques et l'auteur se contente de citer les résultats en question. Noter que les cas particuliers où certaines présentations à visée pédagogique développent en priorité l'espérance conditionnelle sont celles où ces résultats de désintégration peuvent être montrés rapidement à la main: en gros il s'agit du cas où l'espace de base est au plus dénombrable).

    ***************

    Compléments (et pourquoi une tribu peut représenter une information disponible):
    1°) Tribu engendrée par une variable aléatoire:
    soit $(\Omega',\mathcal A')$ un second espace mesurable et $T:\Omega \to \Omega'$ une variable aléatoire (i.e une fonction $(\mathcal A,\mathcal A')$- mesurable); on désigne par et $\sigma(T)$ la plus petite tribu sur $\Omega$ rendant $T$ mesurable. Alors une variable aléatoire $Z:\Omega \to \R$ est $\sigma(T)$-mesurable si et seulement si il existe une fonction $(\mathcal A,\mathcal B_{\R})$-mesurable $f:\Omega' \to \R$ telle que $f \circ T = Z$ ($\mathcal B_{\R}$ désignant la tribu borélienne de $\R$; c'est ce qui explique comment la sous-tribu $\sigma(T)$ peut incarner l'ensemble des informations disponibles en connaissant seulement $T$. En résumé les fonctions $\sigma(T)$ mesurables sont exactement les fonctions de la forme $g(T)$ où $g$ est une autre fonction mesurable). Le résultat est évident si $Z$ prend un nombre fini de valeurs et sinon, on approche $Z$ par des fonctions étagées et on fait un passage à la limite.
    On emploie souvent l'abréviation $E(Y|(X_1,...,X_d))$ pour $E(Y | \sigma (X_1,...,X_d))$ et, lorsque $Y$ est $L^2$, par ce qui précède (projection dans un Hilbert), $E(Y|(X_1,...,X_d))$ est parmi les fonctions construites uniquement avec $X_1,...,X_d$, celle qui approche le mieux $Y$ au sens des moindres carrés i.e. en norme $L^2$.

    On peut aussi citer le résultat suivant: pour tous espaces mesurables $(\Gamma,\mathcal T_{\Gamma})$, $(\Delta,\mathcal T_{\Delta})$, toutes fonctions mesurables $X:\Omega \to \Gamma$, $Y,\Omega\to \Delta$ telles que $X,Y$ sont indépendantes et toute fonction mesurable $f:\Gamma \times \Delta \to \R$ telle que $f \circ (X,Y)$ (qu'on va noter simplement $f(X,Y)$) est $L^1$, on a $E(f(X,Y)| X) = g(X)$ où $g(t):=E(f(t,Y))$ pour tout $x\in \Gamma$ (ce résultat se prouve avec (ii) ou (iii) ci-dessus et l'indispensable lemme de classe monotone; commencer avec le cas particulier où $f$ est le produit d'une fonction bornée de $\Omega$ dans $\Gamma$ et d'une fonction bornée de $\Omega$ dans $\Delta$).

    2°) Cas général (toutes les tribus sont engendrées par des variables aléatoires spécifiques)
    Soit à nouveau $\mathcal B$ une sous-tribu de $\mathcal A$
    2.1°) $\mathcal B$ est égale à $\sigma(X)$ où $X:(\Omega,\mathcal A) \to (\Omega, \mathcal B ) $ n'est autre que ... la fonction identité (!!!). Cependant on montre une situation un peu moins artificielle ci-dessous:
    2.2°) Soit $(F_i)_{i\in I}$ une famille de parties de $\Omega$ engendrant $\mathcal B$ (i.e. $\mathcal B$ est la plus petite tribu qui les contient toutes). On munit $\{0,1\}^I$ de la tribu cylindrique (la plus petite tribu contenant les produits $\prod_{i\in I} E_i$ de parties de $\{0,1\}$ tels que sauf pour un nombre fini d'indices $i$, $E_i=\{0,1\}$).
    Soit $Q_F: \omega \in \Omega \mapsto \left (\mathbf 1_{F_i} (\omega) \right )_{i\in I}$. Alors $\mathcal B = \sigma(Q_F)$. $Q_F$ est la liste des réponses aux questions "est-ce que $\omega$ appartient à $F_i$". Une fonction $\mathcal B$-mesurable est alors une fonction qui peut se calculer en connaissant uniquement le statut de ces questions: c'est l'information contenue dans $\mathcal B$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • L'intégrale de Kurzweil-Henstock est-elle de philosophie constructiviste (rejet de l'axiome du choix général pour l'axiome du choix dépendant avec le modèle intérieur de la théorie des ensembles dit de Zermelo-Fraenkel ou ZF)?
  • AlainLyon
    Non, pas plus que l'intégrale classique.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • De sorte que l'intégrale de Kurzweil-Henstock ne fait pas partie pas de l'analyse non-standard.
  • Rien à voir avec une histoire de modèle intérieur, et encore moins avec l'analyse non standard (qui utilise l'axiome du choix !).
  • Merci Foys, une fois de plus ! ;-)
  • Je ne connais KH que de réputation (pare qu'elle aurait l'avantage de donner POUR TOUTE $f$ dérivable $a,b: \int_a^b f' = f(b)-f(a)$.

    Mais j'ai lu (un peu en diagonale) sur des choses dans certains posts comme "attention, certaines fonctions KH intégrables ne le sont pas pour Lebesgue").

    J'ai peur que ça trompe un peu les visiteurs qui peuvent avoir tendance à rapprocher trop "mesurable" de "intégrable" (ce qui a été mon réflexe). J'en profite donc pour rappeler qu'on peut même aller jusqu'à supposer que toute fonction est mesurable (à condition de renoncer à l'axiome du choix). Personne ne risque (sauf ZF+CI contradictoire) de construire demain une fonction non mesurable avec les maths routinières des études.

    Après j'ignore effectivement quels exemples Lebesgue rend négligeables quand KH ne le fait pas. Mais je n'ai pas non plus l'impression que dans les "maths appliquées souvent", ce soit super fréquent. Il y a un petit côté historique accidentel à avoir défini $f'$ par la limite qu'on sait plutôt que par
    $$
    f'(a) := \lim_{(x,y)\to (a,a)} \ \frac{f(x)-f(y)}{x-y} ,

    $$ qui force alors toute fonction dérivable dans ce nouveau sens à être $C^1$.

    Bon cela dit, c'est sympa de rajouter des petites bosses et de construire des dérivées non continues :-D. Ça entraîne le cerveau à méditer.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @christophe c : ça n'a rien à voir avec des histoires de mesurabilité ; la fonction $f$ telle que $f(0)=0$ et $f(x)=x^2\sin \Big (e^{\frac 1 {|x|}} \Big )$ pour tout $x\neq 0$, est dérivable et sa dérivée est mesurable en tant que limite simple de suite de fonction continues, mais non Lebesgue-intégrable. En revanche elle est HK-intégrable en tant que dérivée d'une autre fonction.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Grand merci Foys. J'ai compris. Ondonne un sens à de la semi convergence de somme non commutativement convergente en "réparant le fait que Lebesgue se calcule via int(f^+) + int(f^-)

    Mais on oublie un peu dans cette histoire que la théorie de la dérivation sur IR est toute pourrie puisqu'on vire les tangentes verticales (qui 'e devrait pas être considérées comme de la non dérivabilité).

    De mon téléphone. Je peux être mal compris j'y reviendrai d'un pc.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Bonjour,
    Autoriser les tangentes verticales va poser un problème sérieux pour formuler les théorèmes.
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • christophe c a écrit:
    Mais on oublie un peu dans cette histoire que la théorie de la dérivation sur IR est toute pourrie puisqu'on vire les tangentes verticales (qui 'e devrait pas être considérées comme de la non dérivabilité).
    La dérivation en un point est une forme linéaire d'un certain sous-espace vectoriel des fonctions définies sur un intervalle et à valeurs réelles dans l'espace vectoriel des fonctions.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • J'en suis conscient, mais au cours de ma vie, j'ai un grand nombre (enfin plus que 4 fois disons) de fois entendu des éloges et contestations d'injustices contre KH.

    Je n'ai hélas jamais regardé de quoi il retournait vraiment, d'où mon attirance hier. Mais li faut distinguer tout de même plusieurs choses.

    1/ Le rappel que problème que je viens d'évoquer (que nos obsessions pour les fonctions univoques nous ont embarqué dans des contrées très subjectives, où on confond $\frac{47}{0}$ avec $\frac{0}{0}$, l'un étant plein, l'autre étant vide).

    2/ Est-ce que KH (je n'en sais rien mais ai des soupçons que non) traite différemment les fonctions positives? Parce que sinon, franchement... S'il s'agit juste de "choisir" de faire converger quelques sommes non commutativement convergentes...

    3/ Est-ce que KH n'est pas juste un exercice de logique. Je m'explique: on a déjà l'application linéaire $f'\mapsto f$ à image dans $\{g\mid g(0)=0\}$ (et donc les formes afférentes), il ne faudrait pas confondre avec quelque chose qu'on n'a pas. Qu'on le ré-exprime sous forme littéraire intégralisante ne doit pas laisser penser qu'on ne les a pas définies avant ces formes linéaires (partielles, enfin sur tels et tels sous-espaces)

    4/ Je n'irai pas plus loin car je ne connais pas la réponse à (1), même si je la devine. Et dès que j'ai la motivation j'irai voir la définition "intégralisante" de cette forme linéaire. Ca amène aussi la question: peut-on le faire en dimension quelconque? Parce que sinon, bof bof aussi.

    5/ En prenant une suite surjective d'intervalles à extrémités rationnelles, tu patches*** comme tu veux des fonctions de façon à ce qu'elles aient les dérivées les plus spéctaculaires possibles alors même que tu ne les modifies presque pas (par exemple des dérivées $g'$ telles que $\forall y\in [0,10000]\forall J$ intervalle ouvert non vide, $y$ a un antécédent par $g'$ dans $J$). Ce qui "t'intredit" de remplacer $10000$ c'est la convention qu'on ne retient pas les tangentes verticales. D'une manière générale, on nage en terrain "un peu subjectif" quand-même.


    ***117038
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  • Je répondais à gebrane.

    @Foys, je suis d'accord :-D
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  • CC a écrit:
    Est-ce que KH (je n'en sais rien mais ai des soupçons que non) traite différemment les fonctions positives?
    Non.
    Un truc intéressant quand même c'est qu'à première vue on ne voit pas trop comment l'intégrale KH fait pour "choisir" entre toutes les valeurs possibles de ces sommes semi-convergentes.
    Xax a écrit:
    @Corto merci beaucoup; pour ton point 3), apparemment ça se fait,cf. p.j.
    Je réponds avec plusieurs jours de retard mais tu remarqueras que dans ta pièce jointe il s'agit d'un livre, pas de notes de cours et que l'intégrale KH est abordée après l'intégrale de Lebesgue.

    J'en profite aussi pour signaler qu'on retrouve l'intégrale de Lebesgue en prenant simplement la construction de Riemann (je parle en fait des fonctions en escalier) et en y rajoutant habillement la notion de "presque partout", notion qui peut se définir sans bagage de théorie de la mesure.
  • Foys
    Modifié (January 2022)
    Soient $a,b\in \R$ tels que $a<b$.

    (i) Une subdivision pointée (de $[a,b]$) est un couple de suite finies $\left ((x_i)_{0 \leq i \leq n}, (y_i)_{1 \leq i \leq n} \right )$ telles $x_0=a$, $x_n = b$ et telles que pour tout $i\in \{1,...,n\}$, $x_{i-1} < x_i$ et $y_i \in [x_{i-1}, x_i]$.

    (ii) Soient $f:[a,b] \to \R$ une fonction quelconque et $S=: \left ((p_j)_{0 \leq j \leq m}, (q_j)_{1 \leq j \leq m} \right )$ une subdivision pointée. On appelle intégrale de $f$ suivant $S$ le nombre $I_S(f):= \sum_{k=1}^n (p_k - p_{k-1})f(q_k)$.

    (iii) soit $\varphi:[a,b]\to ]0,+\infty[$ une fonction prenant des valeurs strictement positives. Une subdivision $\left ((x_i)_{0 \leq i \leq n}, (y_i)_{1 \leq i \leq n} \right )$ est dite subordonnée à $\varphi$ si pour tout $i\in \{1,...,n\}$, $x_i - x_{i-1} \leq \varphi(y_i)$.
    L'ensemble des subdivisions pointées subordonnées à $\varphi$ n'est jamais vide (on le voit par compacité: s'il n'existe aucune telle subdivision pour $\varphi$, alors il n'en existe aucune sur l'un des deux intervalles $\left [a, \frac{a+b} 2\right]$, $\left [\frac{a+b} 2, b\right]$. On prend parmi les deux intervalles, un où il n'y a pas de subdivision subordonnée à la restriction de $\varphi$ sur ledit intervalle et on le coupe à nouveau en deux et ainsi de suite. On aboutit alors à une contradiction en prenant l'unique point $c$ dans l'intersection des intervalles ainsi construits,l'un des intervalles en question étant contenu dans $\left [c-0.5\varphi(c), c+0.5\varphi(c) \right]$).

    (iv) dans la suite on note donc pour $\psi: [a,b] \to ]0,+\infty[$, $V_{\psi}$ l'ensemble de toutes les subdivisions pointées adaptées à $\psi$. Si $\varepsilon >0$, $\varepsilon \mathbf 1_[a,b]$ est la fonction constante égale à $\varepsilon$ sur $[a,b]$ et on note $W_{\varepsilon} := V_{\varepsilon\mathbf 1_{[a,b]}}$.

    Alors $W =\left (W_{\varepsilon} \right)_{\varepsilon >0}$, et surtout $V = \left( V_{\psi}\right)_{\psi \in ]0,+\infty[^{[a,b]}}$ sont des bases de filtre sur l'ensemble des subdivisions pointées. (pour $V$ cela découle bien sûr de (iii) et de ce que si $\sigma,\theta$ sont des fonctions strictement positives, $x\mapsto \inf \left (\sigma(x),\theta(x) \right )$ en est encore une).

    On a les deux résultats suivants:
    A) Etant donnée $f\in \R^{[a,b]}$, $S \mapsto I_S(f)$ possède une limite suivant $W$ si et seulement si $f$ est Riemann-intégrable et le cas échéant, cette limite est égale à son intégrale de Riemann (exo)
    B ) Lorsque la limite de $S\mapsto I_S(f)$ suivant $V$ existe, cette limite est appelée "intégrale de Henstock-Kurzweil" de $f$. Bien évidemment A) entraîne B ) et ce, avec la même limite (propriété basique des sous-filtres).

    L'idée intuitive est la suivante: Les $I_S$ sont des calculs d'intégrale approximatifs par la méthode des rectangles, cependant là où dans l'intégrale de Riemann on se contente de tasser uniformément les encadrements, pour l'intégrale de HK, on encadre avec une fonction positive qui va être arbitrairement petite aux endroits où la fonction $f$ est très irrégulière pour mieux épouser son graphe on va dire.

    Exos:
    1°) montrer la relation de Chasles pour l'intégrale HK (la subtilité étant de choisir une fonction positive intelligente sur la réunion des deux intervalles)
    2°) montrer que toute dérivée de fonction est HK intégrable et que son intégrale est la différence des valeurs prises par une de ses primitives aux bornes de l'intervalle d'intégration (oui ces résultats sont des exos!! Ils ne sont pas durs en fait. Le théorème de convergence monotone est plus compliqué par contre; cf le web ou les liens cités par les intervenants. Citons aussi les très bons polys de Jean-Pierre Demailly sur cette intégrale, trouvables sur son site).
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