Factorielle

Bonjour
La formule suivante a-t-elle un nom ?
A+116940
Le plus grand poète français est Victor Hugo, hélas ! (André Gide)

Réponses

  • bonjour

    ta formule n'a pas de nom mais correspond au développement d'un produit infini
    lié à la fonction eulérienne Gamma de variable x réelle positive :

    $\Gamma(1+x) = \frac{(1+1)^x(1+1/2)^x(1+1/3)^x............(1+1/n)^x........}{(1+x)(1+x/2)(1+x/3)..............(1+x/n)..........}$

    si x = m, tu trouves au premier membre m! (factorielle de m)

    et au second membre le développement de chaque binôme de Newton d'exposant m qui figure au numérateur
    avec au dénominateur des binômes affines en m ce qui explique l'alternance de signe des expressions

    le développement de ce produit infini est très lourd et ne présente guère d'intérêt scientifique

    cordialement
  • Celle-là :
    $$m! = \sum_{k=0}^{m} (-1)^k\cdot \binom{m}{k} \cdot (m+1-k)^m\qquad ?$$
  • C'est lié aux nombres de Stirling ou aux différences finies, on en a parlé il y a peu.
  • Je préfère écrire l'égalité de marsup
    $$
    m! = \sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} \binom{m}{k} (k+1)^m.

    $$ Le nombre de surjection d'un ensemble à $n$ éléments dans un ensemble à $p$ éléments est donné par
    $$
    S_{n,p} = \sum_{k=0}^p (-1)^{p-k} \binom{p}{k} k^n.

    $$ En utilisant l'égalité $\displaystyle{\binom{m}{k} = \binom{m+1}{k+1} - \binom{m}{k+1}}$, on trouve
    $$
    \sum_{k=0}^m (-1)^{m-k} \binom{m}{k} (k+1)^m = S_{m,m+1} +S_{m,m} = 0+m!=m!
    $$
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