Convergence pour la topologie cofinie

kirou
kirou
dans Topologie
$\newcommand{\card}{\mathrm{card\,}}$Bonjour, comment étudier la convergence d'une suite réelle dans $\mathbb{R}$ muni de la topologie cofinie
$$\tau=\{\emptyset\}\cup\{G\subset \mathbb{R},\, card(\mathbb{R}\setminus G)<+\infty\}.$$

Soit $l$ une limite de $(x_n)$ alors $\{l\}$ est un voisinage de $l$ (car $\card(\mathbb{R}\setminus\{l\})=+\infty$).

il n'y a que les suites stable qui convergent ?

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Tu as fait une erreur de frappe, c'est $\card(\R\setminus G)<\infty$. Bon, puis après tu la reproduis, donc c'est peu clair dans ta tête.

    Un ouvert pour la top-cofinie, c'est un ensemble dont LE COMPLÉMENTAIRE est fini (ça n'est pas synonyme d'être infini, loin de là)

    Une suite $u$ converge vers un point $a$ quand pur toute partie $F$ finie de $\R$, $\{n\mid u_n\in F $ et $u_n\neq a\}$ est fini, ce qui revient à dire que chaque singleton autre que $\{a\}$ a un nombre fini d'antécédents dans $\N$ par la suite $u$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Pour terminer ce que dit Christophe, quand $u_n=a$ à partir d'un certain rang.
  • kirou
    kirou
    Je m'excuse pour mon erreur vous avez raison.
    $$
    \tau=\{\emptyset\}\cup\{G\subset \mathbb{R}\mid \card(\mathbb{R}\setminus G)<+\infty\}.

    $$ Donc les suites qui convergent sont toutes les suites sauf par exemple $(-1)^n$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Il y en a bien d'autres. $((-1)^n)_n$ n'est pas vraiment représentative des suites qui ne sont pas constantes à partir d'un certain rang !
  • kirou
    kirou
    Mais par example $\frac1n$ converge pour la topologie cofinie et n aussi
  • christophe c
    christophe c
    @Poirot. Pour la topologie cofinie. Il y a une erreur dans son premier post qu'il a signalée. Faudrait qu'il le modifie d'ailleurs. Quasiment toutes les suites convergent tout le monde (les injectives par exemple) convergent vers tout point.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • kirou
    kirou
    Bonjour, je n'arrive pas a étudier la convergence de par exemple $(-1)^n$.

    Soit $\ell$ une limite, un ouvert qui contient $\ell$ est $G$ de sorte que $\card(\mathbb{R}\setminus G)<\infty$.

    Par exemple $\ell=1$ ne peux pas être une limite car il existe un ouvert $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ c'est un voisinage de $1$ qui ne contient pas $-1$ qui représente une infinité des éléments de la suite.
    Aussi $\ell=-1$, il suffit de considérer $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ et pour $\ell\notin\{1,-1\}$, il suffit de prendre $G=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$

    Donc cette suite ne converge pas du tout.
    C'est correct ?
  • christophe c
    christophe c
    Ta suite ne converge vers personne puisque tous ses termes sont dans le fermé $\{-1,1\}$ mais pour des $n$ aussi grands que tu veux, tu échapperas autant à $\{-1\}$ qu'à $\{1\}$

    Ta topologie est définie par le fait qu'être fermé = être fini (ou espace entier).

    Pour toute topologie, dire qu'une suite $u$ converge vers $a$ revient à dire que pour tout fermé $H$, sauf s'il contient $a$, $$\{n\mid u_n\in H\}$$ est fini.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • kirou
    kirou
    Je n'ai pas compris l'utilisation du fermé est ce que vous pouvez mieux m'expliquer

    Merci
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