Suite convergente dans espace co-dénombrable

kirou
kirou
dans Topologie
Bonjour

Soit $\mathbb{R}$ muni de la topologie co-dénombrable : $$\tau=\{\emptyset\}\cup\{G\subset \mathbb{R}\mid (\mathbb{R}\setminus G) \text{ dénombrable}\}.

$$ Je n'arrive pas à déterminer le type des suites qui convergent pour cette topologie (mise à part la suite constante).
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    Indication : l'image d'une suite $n\mapsto x_n$ est un ensemble dénombrable.
  • kirou
    kirou
    Oui L'ensemble $A=\{x_n\mid n\in \mathbb{N}\}$ est dénombrable et contient toutes la suite.

    Mais on dit que que $\ell$ est limite de $(u_n)$ si $\ \forall V\in \mathcal{V}_\ell,\ \exists n_0\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N},\ n\geq n_0\Rightarrow x_i\in V$.

    Soit $O$ un ouvert qui contient $ \ell$ alors $(\mathbb{R}\setminus O)$ est dénombrable.
    Mais je ne sais toujours pas quels sont les suites convergentes ??
  • raoul.S
    raoul.S
    Soit $(x_n)_{\N}$ une suite convergeant vers $\ell$.

    L'ensemble $F:=\{x_n\mid n\in \mathbb{N}\} \setminus \{\ell\}$ est fermé par définition de la topologie codénombrable.

    L'ensemble $\mathcal{O}:=\mathbb{R}\setminus F$ est donc un voisinage ouvert de $\ell$.

    Donc à partir d'un certains indice $N$, tous les $x_n$ tels que $n\geq N$ sont dans $\mathcal{O}$, donc...
  • Martial
    Martial
    @kirou : "Je n'arrive pas à déterminer le type des suites qui convergent pour cette topologie (mise à part la suite constante). "

    C'était normal que tu n'y arrives pas, puisqu'il n'en existe pas. (A condition de remplacer "constante" par "constante à partir d'un certain rang", en anglais "eventually constant", voir le dernier poste de raoul).
  • Poirot
    Poirot
    @Martial : on dit "stationnaire" en général !
  • christophe c
    christophe c
    Martial a affaire à une aurte sorte de stationnaire avec son livre :-D :-D et ils ne sont pas aussi conciliants que les suites stationnaires... (j'écris ça pour tagguer une homonymie de plus)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    Christophe est un grand psychologue (contrairement à une "amie" commune à nous deux dont je ne citerai pas le nom, lol).
    Effectivement, à un moment donné dans mon livre (je ne sais plus exactement où), j'ai appelé une telle suite "constante à partir d'un certain rang" ou "éventuellement constante". Et j'ai ajouté en note de bas de page que l'adjectif "stationnaire" existait aussi, mais que nous l'éviterions à l'avenir pour éviter des confusions.
    Et du coup, depuis, je n'emploie plus cette expression dans le cas des suites. C'est psychologique.

    @Poirot : merci quand même pour la suggestion !

    @Christophe : bravo, tu as réussi à faire sortir de mon cerveau un souvenir vieux comme mes robes !
  • Martial
    Martial
    Ceci dit, c'est vrai que les stationnaires dont cause Christophe sont moins faciles à appréhender que les suites du même nom. Mais encore, tant que les stationnaires se baladent dans un cardinal $\kappa$ (de préférence régulier de cofinalité non dénombrable), ça baigne !

    Par contre les stationnaires "à la Jech" sont un peu relous à digérer.

    Sorry pour le HS.
  • kirou
    kirou
    Bonsoir

    J'ai bien compris merci.
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