Inégalité avec une distance métrique

Bonjour à tous,
je cherche à démontrer que :
$d_A(x)\le d(x,y)+d_A(y)$
où $E$ est un espace métrique muni d'une distance $d$ et $A$ une partie non vide de $E$.

Rédaction proposée.
$d(x,a)-d(x,y)\le d(y,a)$ par l'inégalité triangulaire.
Donc $d(x,a)-d(x,y)$ est un minorant de l'ensemble $\{d(y,a)\mid a\in A\}$ et donc $d(x,a)-d(x,y)\le d_A(y)$
D'où $d_A(x)\le d(x,a)\le d(x,y)+d_A(y)$.

J'ai un petit souci avec le fait d'écrire que "$d(x,a)-d(x,y)$ est un minorant de l'ensemble $\{d(y,a)\mid a\in A\}$" puisque le minorant dépend de $a$.

Est-ce fondé ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour.

    Il y a un problème avant : Qui est a ? (quantification de la lettre).
    Ensuite, dans la phrase que tu cites, la variable $a$ a deux rôles différents, et si on remplace le $a$ inutile dans $\{d(y,a)\mid a\in A\}$ en écrivant $\{d(y,b)\mid b\in A\}$ il n'y a plus de lien d'écriture avec la ligne précédente.

    Donc oui, il y a un problème dans cette rédaction.

    Cordialement.
  • Oui, c'est exactement ce que je me disais. Pouvez-vous me mettre sur la voie pour mieux le rédiger ?
    Merci !
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