Mesure de Hausdorff

Bonjour.

Les mesures de Hausdorff permettent de donner un sens à la dimension de Hausdorff.

Comme application, je ne vois pas plus direct, mais j'ai peut-être mal compris la question.

A bientôt.

La mesure de Haussdorff intervient "naturellement" dans des problèmes de géométrie (fine).

Pour les besoins de l'analyse harmonique, elle permet de mesurer la "taille" de certains ensembles exceptionnels.
Par exemples :
-lieu de non-différentiabilité de certaines classes d'applications (et applications aux théorèmes de changement de variables généralisés : formule de la coaire).
-"taille" de certains ensembles à la base de nombreux contre-exemples en analyse harmonique (comme les ensembles de Kakeya du plan et en dimension supérieure).

L'émergence en géométrie de cette notion date à ma connaissance des travaux séminaux de Besicovitch (dans les années 20) et a ensuite été développée (puis formalisée à l'extrême) par Federer (dans les années 40-60).
Une des références (arides) dans le sujet est bien entendu le livre de H. Federer mais je te conseille pour une introduction compréhensible le livre de K. Falconner : Geometry of Fractal sets et celui de P. Mattila : Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces.
Tu y découvriras une branche de la théorie géométrique de la mesure qui consiste en l'étude de la rectifiabilité des ensembles (essentiellement, savoir si certains ensembles "ressemblent" localement à des courbes lipschitziennes).

Voilà pour les grandes lignes directrices (basiques) sur le sujet.
Il existe bien entendu des développements plus récents mettant l'accent sur l'analyse de Fourier et l'analyse fonctionnelle (comme le livre récent de P. Mattila : Fourier Analysis and Hausdorff Dimension en témoigne).
A cet effet, tu peux aussi jeter un coup d'oeil au blog de T. Tao qui recense des travaux et des idées nouvelles sur le sujet.