Rayon de convergence

Bonsoir à tous,

Ça fait très longtemps que je ne m’intéresse pas aux séries numériques et séries de fonctions. J'aimerais me replonger à nouveau dans ces cours, et voici une question,
J'aimerais que vous me montriez quelles sont les techniques à notre disposition pour trouver le rayon de convergence d'une série numérique quelconque ?

Merci d'avance.
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Réponses

  • Bonsoir,

    Mode d'emploi du doigt ---> Google.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Il n'y a aucune technique pour cela car le rayon de convergence d'une série numérique, ça n'existe pas !

    Comme d'habitude, Pablo, si tu te forçais à ne pas parler de choses que tu ne connais pas, cela t'éviterait de dire bien des âneries.
  • Pablo a toujours refusé d'apprendre les mathématiques des premières années post bac, il est bien au dessus de ça, ailleurs, dans l'espace; dans la Lune.
    Mais il croit faire des maths ...
  • Pardon, je voulais parler de rayon de convergence d'une série entière. Quelles sont les techniques qu'on utilise pour le trouver ?
    Merci d'avance.
  • Critère de D'Alembert, formule de Cauchy, formule d'Hadamard comme choses toutes prêtes à connaître, et si aucune n'est utilisable, il faut pratiquer à la main en se ramenant au critère d'Abel ou la définition du rayon de convergence.
  • Tu peux te fier aux conseils de Poirot, il en connaît un rayon.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Bref, Pablo, tu te prends par la main et tu apprends (et tu mets en pratique !) n'importe quel cours de maths de L2 ou de prépa 2ème année et tu auras tout ce qu'il te faut connaître.
    Un étudiant normalement constitué met environ 2 à 4h à connaître tout le cours du chapitre sur les séries entières et une petite semaine d'exercices pour le mettre en pratique avec une dextérité suffisante.
    A toi de jouer.
  • Merci à tous.
    Poirot,
    Comment se sert-on de la formule de Hadamard pour trouver le rayon de convergence d'une série entière ?
    J'ai parcouru tout mon cours sur les séries entières tout à l'heure, et c'est ce qui me reste à comprendre.
    Si toutes ces démarches ne fonctionnent pas. Comment trouver le rayon de convergence d'une série entière rien qu'avec la définition ?
    Merci d'avance.
  • « Comment se sert-on... ? ».

    Bah, on l’applique !

    Édit : coquille
  • Oui, mais, je n'ai jamais vu de cours montrant comment on calcule la limite supérieure d'une suite. A mon avis, ce n'est pas très pratique.
  • Comment calculer le rayon de convergence de la série entière $ \sum n^{ \alpha } z^n $ à l'aide de la définition ?
    Merci d'avance.
  • On a,
    - Si $ r < 1 $, alors, $ | n^{ \alpha } | r^n $ tend vers $ 0 $ lorsque $ n $ tend vers l'infini. D'où, $ \sum n^{ \alpha } z^n $ converge pour $ r < 1 $.
    - Si $ r > 1 $, alors, $ | n^{ \alpha } | r^n $ tend vers $ + \infty $ lorsque $ n $ tend vers l'infini. D'où, $ \sum n^{ \alpha } z^n $ diverge pour $ r > 1 $.
    Qu'est ce qui se passe lorsque, $ r = 1 $ ?
    Merci d'avance.
  • Soit $ z \in \mathbb{C} $ tel que, $ |z| = 1 $.
    Alors, $ z $ se met sous la forme $ z = e^{ i t } $ avec, $ t \in \mathbb{R} $.
    Comment étudier la convergence de la série $ \sum n^{ \alpha } e^{ i n t } $ suivant les valeurs de $ t $ et de $ \alpha $ ?
    Merci d'avance.
  • Sur le bord on ne sait pas toujours ce qui se passe.
    Regarde la définition ou le critère d’Abel.

    Là si tu tombes sur « ça diverge pour >1 » et « ça converge pour <1 » alors tu as démontré que LE rayon est $1$.

    La limite sup ça peut être pratique pour des séries où la suite a des trous (certains $a_i$ sont nuls).
    Dans ce cas on ne peut pas facilement étudier $a_{n+1}/a_n$ par exemple...
  • Dom,
    Sais tu étudier la convergence de la série $ \sum n^{ \alpha } e^{ i n t } $ suivant les valeurs de $ t $ et de $ \alpha $ ?
    Merci d'avance.
  • Je commencerais par déblayer et poser le cadre.
    On indice à partir de $n=1$.
    On cherche les valeurs réelles de $\alpha$ et $t$

    Par contre on n’est pas dans les séries entières là, tu abuses un peu en avançant en équilibriste aveugle, malentendant, boiteux et peu volontaire sur une poutre fine comme un cheveu et d’une pente de 100% (rappel : c’est-à-dire à 45°).

    Tu es soit idiot, soit troll, soit pathologiquement atteint, ou bien quid ?

    Veux-tu lire ce qu’est une série entière et le poser là dans ce fil, proprement.
    C’est un exercice utile ! Ne le néglige pas !
  • Mais tu oublies que $ \sum n^{ \alpha } e^{ i n t } $ représente $ f(1) $ avec, $ f(z) = \sum n^{ \alpha } z^n $ ( i.e, la série qu'on cherche à identifier son rayon de convergence $ R $ ).
    Bref, on a trouvé que le rayon de convergence est $ R = 1 $, parce que, pour tout $ |z| < 1 $, $ f $ converge, mais, on ne sait pas quant $ f $ converge ou diverge lorsque, $ |z| = 1 $. C'est le but de ma question.
  • Mouais...

    Alors au boulot :
    Déjà trouvons des valeurs où la série diverge grossièrement.
  • Après avoir écarté les cas où la série diverge grossièrement, la clé est la transformation d'Abel.
  • Pour $ t \in 2 \pi \mathbb{Z} $, et $ \alpha \in \mathbb{R} $, $ f(e^{ 2 \pi i \mathbb{Z} }) = \sum n^{ \alpha } $ diverge.
    Pour quelles autres valeurs de $ t $ et $ \alpha $ la série $ f( e^{ it }) = \sum n^{ \alpha } e^{ i n t } $ diverge ?
    Merci d'avance.
  • Prouve ta première ligne !!!
    Et j’espère que personne ne va te donner d’indication. :-P

    A tous : laissez-le faire des maths, pour une fois.
  • $ n^{ \alpha } = e^{\alpha \ln (n)} $ tend vers $ + \infty $ lorsque $ n $ tend vers $ + \infty $.
    D'où, $ n^{ \alpha } $ ne tend pas vers $ 0 $ lorsque $ n $ tend vers $ + \infty $.
    Par conséquent, $ \sum n^{ \alpha } $ diverge.
  • Prouve encore ta (nouvelle) première ligne.
    Si tu y arrives...

    Même remarque à tous !!!
  • Non, on ne va pas ergoter pour ça. C'est évident. Tu fais du pinaillage, et ça, moi, je n'aime pas.
  • Pour quelles autres valeurs de $ t $ et $ \alpha $ la série $ f( e^{ it }) = \sum n^{ \alpha } e^{ i n t } $ diverge ?
  • Si seulement tu savais démontrer ta première ligne.
    Je te le dis : tu te trompes !
    Et non, je n’ai pas pinaillé sur ce coup.
    Je sais donc à qui j’ai affaire.

    Relis-toi !!!
  • Pablo a écrit:
    Non, on ne va pas ergoter pour ça. C'est évident.
    C'est tellement évident que c'est faux.
  • Peu importe. Quelle est la réponse à la question suivante,
    Pour quelles autres valeurs de $ t $ et $ \alpha $ la série $ f( e^{ it }) = \sum n^{ \alpha } e^{ i n t } $ diverge ?
  • Bye bye.
    Tu vois bien qu’il y a un problème.
    C’est un truc de terminale quasiment.

    Tu as illustré ce qu’on te reproche partout.
    1) tu affirmes un truc
    2) on te le montre
    3) passons à la suite, ça c’est tellement simple que c’est inutile
  • Pour $ \alpha \geq 0 $, $ \sum n^{ \alpha } $ diverge, parce que, $ n^{ \alpha } $ ne tend pas vers $ 0 $.
  • Pour $ \alpha \in [ -1 , 0 [ $, on a, $ \sum n^{ \alpha } $ diverge, parce que, c'est une série de Riemann.
    Si $ \alpha < -1 $, alors $ \sum n^{ \alpha } $ converge, parce que, c'est une série de Riemann.
  • Maintenant, si $ z \neq 1 $, et $ |z| = 1 $, comment étudier la convergence de la série, $ \sum n^{ \alpha } e^{ i n t } $ ?
  • Pour $ \alpha \geq 0 $, on a, $ \dfrac{1}{2} n^{ \alpha } \leq | n^{ \alpha } e^{ i n t } | \leq \dfrac{3}{2} n^{ \alpha } $. D'où, $ | n ^{ \alpha } e^{ i n t } | $ tend vers $ + \infty $ lorsque $ n $ tendant vers $ + \infty $. Pourquoi cela impliquerait que $ n ^{ \alpha } e^{ i n t } $ tend vers $ + \infty $ lorsque $ n $ tendant vers $ + \infty $ ?
    Merci d'avance.
  • S'il vous plaît, un peu d'aide. Ça fait plus de $ 10 $ ans que je n'ai pas revu ce genre de cours.
  • Si tu l'as déjà vu. Relis un cours. Fais un effort : tu ne connais peut-être pas le mot ?
  • Ben, il me faut calculer, pour $ \alpha \geq 0 $, la limite de la suite complexe, $ n^{ \alpha } e^{ i n t } $ lorsque $ n $ tend vers l'infini.
  • Que dirais-tu de te remettre à la théorie de Galois différentielle pour te détendre ? Car là ça semble trop facile pour toi.
  • Non, j'ai fini tout ça maintenant.
    J'ai parcouru toutes les notions mathématiques qui m’intéressaient, alors, je décide, dès lors, de me pencher un moment sur les points que je ne maîtrisent pas assez, et faire beaucoup d’exercices pour m'entraîner.
  • On a, $ n^{ \alpha } e^{ i n t } = n^{ \alpha } \cos (nt ) + i n^{ \alpha } \sin (nt ) $.
    Alors, pour montrer que, $ n^{ \alpha } e^{ i n t } $ diverge, il suffit de montrer que, $ n^{ \alpha } \cos (nt ) $ diverge, ou $ n^{ \alpha } \sin (nt ) $ diverge.
    Pourquoi $ n^{ \alpha } \cos (nt ) $ diverge pour $ t \not \in 2 \pi \mathbb{Z} $ ?
    Merci d'avance.
  • Comment montrer que $ n^{ \alpha } \cos ( nt ) $ diverge s'il vous plaît ?
    Merci d'avance.
  • Bonsoir,
    Si $ (u_n)_n $ et $ (v_n)_n $ sont deux suites, telles que, $ u_n = O(v_n) $.
    Est ce qu'on peut dire que, $ u_n $ et $ v_n $ ont meme limite ? Et pourquoi ?
    Merci d'avance.
  • Ça recommence : dis-nous proprement ce que signifie $u_n = O(v_n)$.
    Et réponds proprement à ta question.

    Édit : coquille
  • $ u_n = O(v_n) $ signifie que $ u_n $ est dominée par $ v_n $.
  • Quelle est la définition de "dominé" ?
  • $ u_n = O(v_n ) \ \ \Longleftrightarrow \ \ |u_n| \leq M.|v_n| \ $ à l'infini, pour un certain, $ \ M > 0 $.
  • Aucun quantificateur, une « broutille » encore j’imagine...

    Bon, et alors, « mêmes limites ou pas » ? (Si tant est qu’on ait des suites convergentes...)
  • Il est intuitif que $ n^{ \alpha } \cos (nt ) $ tend vers $ + \infty $, à l'infini, lorsque $ \alpha \geq 0 $, parce que $ \cos (nt ) $ est bornée et $ n^{ \alpha } $ tend vers $ + \infty $, à l'infini, mais, je ne sais pas à quel résultat du cours me référer afin de l'admettre.
  • Dom,
    $ u_n = O(v_n) \ \ \Longleftrightarrow \ \ \exists M > 0 \ , \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ , \ \forall n \in \mathbb{N} \ \ : \ \ n \geq n_0 \ \ \Longrightarrow \ \ |u_n | \leq M . |v_n | $.
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