Géométrie projective sur un corps fini

Bonjour à tous,

Dans le plan projectif sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, comment montrer "élégamment" que le nombre de droites passant par un point donné égale $q + 1$?

J'ai une preuve un peu "manuelle" qui consiste à considérer les coordonnées homogènes dans $\mathbb{F}_q^3$ : une droite vectorielle est représentée par les coordonnées homogènes d'un vecteur directeur $u[x,y,z]$ de cette droite ; un plan vectoriel est représenté par les coeffcients $[a,b,c]$ d'une de ses équations $ax + by+cz=0$.

Pour savoir si la droite vectorielle $[x,y,z]$ appartient à un plan vectoriel $[a,b,c]$ (a.k.a si le point projectif appartient à la droite projective), il suffit de vérifier si $ax+by+cz=0$.

En énumérant les différents cas pour les coorodnnées homogènes ( $[1, y,z]$, $[0,1,z]$ et $[0,0,1]$) en distinguant les cas $y=0$ et $z=0$ j'arrive laborieusement à montrer que dans tous les cas, on a bien $q+1$ droites passant par un point donné.

Y aurait-il une preuve plus élégante de ce résultat ? Des points bonus si la preuve est constructive et peut se "programmer", c'est-à-dire qu'à partir des coordonnées d'un point projectif on obtient toutes les coordonnées des droites projectives passant par ce point.

N.B.: mon problème vient du jeu de Dobble : https://images.math.cnrs.fr/Dobble-et-la-geometrie-finie.html