Développement limité de $(1+x)^x$

dedekind93
dedekind93
dans Analyse
Bonjour à tous.
En calculant le développement limité de $(1+x)^x$ quand $x$ tend vers 0 (après mise sous forme exponentielle bien sûr) à l'ordre 3, je me suis aperçu que j'obtenais le même résultat que si j'avais appliqué (indûment !) la formule du développement limité de $(1+x)^\alpha$ en prenant $\alpha=x$. Ceci a l'air de fonctionner à tout ordre... mais est-ce exact ? Comment le montrer ? Peut-être est-ce pour une raison très simple mais je ne la vois pas ! Et pour quelles $u$ les développements limités de $(1+x)^{u(x)}$ s'obtiendraient-ils de la même façon ?
Merci de vos idées !

Réponses

  • zephir
    zephir
    Bonsoir,
    $u(x)=x(1+v(x))$ avec $\forall n\in \N,\ v(x)=o(x^n)$
  • marsup
    marsup
    La formule du binôme de Newton dit que pour $a\in\C$, on a pour $|x| < 1$
    $$(1+x)^a = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{a}{n} \cdot x^n,$$ avec $\binom{a}{n} = \frac{1}{n!} a (a-1) \dots (a-n+1)$.
    C'est une égalité, avec une série entière. Le développement limité est obtenu en tronquant.

    Ça fonctionne donc aussi quand on fait $a = x$,
  • Kito
    Kito
    $(1+x)^x =e^{x\ln(1+x)}$.
  • ev
    ev
    Salut Kito !

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • dedekind93
    dedekind93
    Merci marsup pour ton idée, je vais essayer d'éclaircir ça pour moi.
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