Théorème de convergence dominée (encore)

Bonjour,
je n'arrive pas à comprendre pourquoi on a le droit d'utiliser le théorème de convergence dominée pour montrer que : $$\lim_ {n\rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \Big(1+\frac{x^2}{n}\Big)^{-n} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-x^2) dx,

$$ mais par contre on n'a pas le droit de l'utiliser pour montrer que :
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^{n} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-x^2) dx\qquad??$$

Réponses

  • totem, c'est plus intéressant qu'on fasse le contraire.
    E
    xplique nous pour quoi tu prétends que ça marche pour la première et ça ne marche pas pour la deuxième, ça te fera un peu de recherche.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane : ok !
    Il me semble que pour la première, on peut dominer facilement par une fonction intégrable (par $1/(1+x^2)$ par exemple ) alors que pour la deuxième, il semble impossible de dominer par quoique se soit...?

    Ce qui est "marrant" ici, c'est que les 2 suites de fonctions convergent toutes les 2 simplement vers la fonction de Gauss !
  • Tu as donc la réponse à ta question : on ne peut pas l'utiliser parce que les hypothèses ne sont pas vérifiées.

    C'est comme si tu demandais : "Pourquoi je ne peux pas appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle qui n'est pas rectangle ?"...
  • totem. Peut-être je suis mal réveillé en ce dimanche, mais je ne vois pas ta domination pour la première. Je vais me préparer un café.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Par inégalité de Bernoulli, $\forall x\in\R,\ \forall n\in\N^*,\ (1+\frac{x^2}{n})^n\geq 1+x^2>0$ donc $0<(1+\frac{x^2}{n})^{-n}\leq\frac{1}{1+x^2}$.
  • Merci bisam
    Je ne l'ai pas vu avec mes yeux à moitié fermé.
    Bonne dimanche à tous (Chaurien que me proposes-tu en mp à voir comme film ce dimanche)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @bisam : merci !! ça me crevait les yeux et je ne voyais rien ::o
  • En fait, pour la 2ème, c'est pire que ce que tu crois, totem...
    L'intégrale $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^n\mathrm{d}x$ n'est convergente pour aucune valeur de $n$ : un polynôme non nul n'est jamais intégrable sur $\R$.

    En revanche, on a : \[\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{-\sqrt{n}}^{\sqrt{n}} \Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^n\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2)\mathrm{d}x\] et cela se démontre sans problème avec le théorème de convergence dominée.
  • @bisam : ok merci.

    Pour les bornes de ton intégrale, tu as choisi $\sqrt{n}$, ce n'est pas un hasard je suppose ? peut-on choisir $n$ ?
  • Si tu intègres jusqu'à $n$, avec $n$ impair, tu auras un problème de signe...
  • J'ai choisi ces bornes (exclues) pour pouvoir écrire :\[\Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^n=\exp\left(n\ln\Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)\right).

    \] Par ailleurs, si tu vas jusqu'à $n$, tu vas avoir un problème.
    Lorsque $n\geq 4$, sur $[n-1,n]$, on a $\left|\left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n\right|\geq \big((n-2+\frac{1}{n})-1\big)^n\geq (n-3)^n$... tu vois le souci pour la limite ?
  • Euh non je ne vois pas où est le problème ...à moins que ce soit avec le $\ln$ , on va prendre le $\ln$ d'un nombre négatif ?
  • Le problème est que si $n$ est pair et supérieur ou égal à $4$, on a les inégalités :
    \[\int_{-n}^{n}\Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^n\mathrm{d}x\geq \int_{n-1}^{n}\left(n-3\right)^n\mathrm{d}x=(n-3)^n\] et par conséquent, \[\int_{-n}^{n}\Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^n\mathrm{d}x\ \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} +\infty\]
  • Ok ! alors qu'avec $\sqrt{n}$ , tout va bien ?
  • Oui, comme je l'ai déjà dit. Il ne te reste qu'à le vérifier.

    AD : Pourquoi remplacer mes \left( et \right) par \Big( et \Big) ?
    Il me semble que les \left( et \right) font que les parenthèses s'adaptent à la hauteur du contenu...
  • @bisam: en fait non je retire ce que j'ai dit, je ne comprends pas d'où sort : $$\left|\Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^n\right|\geq \big((n-2+\frac{1}{n})-1\big)^n.

    $$ C'est une inégalité de convexité ou un truc du genre ?
  • Euh, non. C'est juste la croissance de la fonction $x\mapsto (\frac{x^2}{n}-1)^n$ sur $[n-1,n]$.

    Attention, l'inégalité donnée est seulement valable sur $[n-1,n]$ !
  • Bisam http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2088358,2088584#msg-2088584
    Oui, mais comme tu peux constater, les expressions sont alors exagérément grossies, et en cas d'imbrication de parenthèses, celles-ci sont de même taille énorme.
    $$ \left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n=\exp\left(n\ln\left(1-\frac{x^2}{n}\right)\right) \qquad\text{vs}\qquad \Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^n=\exp\left(n\ln\Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)\right).
    $$ Ou encore le message de Totem
    $$\left|\left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n\right|\geq \big((n-2+\frac{1}{n})-1)^n \qquad\text{vs}\qquad \left|\Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^n\right|\geq \big((n-2+\frac{1}{n})-1\big)^n.
    $$ AD :-)
  • Totem, tu n'as pas encore vérifié que $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{-\sqrt{n}}^{\sqrt{n}} \Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^n\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-x^2)\mathrm{d}x$, c'est une belle application de TCD.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane et bisam : oui, ici il faut utiliser l'hypothèse de domination sur le compact $[-\sqrt{n};\sqrt{n}]$ ?
  • Bah non, ça n'a pas de sens de faire dépendre la domination de la variable $n$ que l'on va faire tendre vers l'infini. Il faut se ramener à une intégration sur $\mathbb R$ tout entier, et dominer la fonction en question par une fonction intégrable sur $\mathbb R$ indépendante de $n$.
  • @Poirot : ben oui c'est bien ce qui me tracasse...mais dans ce cas précis je ne vois pas comment faire :-S

    Ou alors il faut bricoler une fonction ad hoc à coup d'indicatrices ?
  • Oui c'est ça.
  • Hello !

    Comment faire pour passer de $I = \int_a^b f(x)dx$ à $I = \int_{\mathbb{R}}g(x)f(x)dx$?

    Bref que choisir comme fonction g?

    C'est une technique ultra utilisée dans le cadre de l'intégration de Lebesgue


    Edit : totem a répondu entre temps
  • @OK...c'est donc du bricolage :-D
  • Non, c'est la chose la plus naturelle à faire puisque le théorème de convergence dominée concerne des fonctions toutes définies sur un même espace mesuré.
  • totem, il semble que tu as des difficultés à appliquer le TDC ici. Montre moi que je me trompe ;-)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane : non, tu ne te trompes pas !!:-D

    @Poirot: oui pardon, je veux dire, la théorie des espaces mesurés et moi, ça fait 2 ! 8-)
  • Savez-vous si on peut dominer presque surement sur $[0;1]$ la fonction $\
    n \exp(-nt) \
    $ par une fonction de $t$ indépendante de $n$ et intégrable sur $[0;1]$ ?
  • Que vaut son intégrale ? Sa limite simple ? L'intégrale de sa limite simple ? Et alors ?
  • Son intégrale vaut $1-\exp(-n)$
  • Sa limite simple vaut $+\infty$ en $0$ et $0$ sur $ ]0:1]$.
  • L'intégrale de la limite simple vaut $0$.
  • Alors vous n'avez pas répondu à la question !
  • Peut être je devrais être plus clair je cherche à calculer la limite de
    $$
    \int_{0}^{1} f(t) n \exp(-nt)dt .

    $$ D'où ma question peut-on dominer $n \exp(-nt)$ sur $[0;1]$ indépendamment de $n$ par une fonction intégrable de $t$.
  • Il est clair qu'il existe un majorant $M_{t}$ pour $t>0$ de $n \exp(-nt)$ si vous voulez ma question c'est comment se comporte cette fonction...
  • Math Coss te suggère de montrer la non-domination en contraposant le théorème de convergence dominée.

    De façon plus élémentaire, il te suffit d'étudier $\varphi : t \mapsto \sup_{n\in\mathbb N} ne^{-nt}$.
  • D'accord :)o
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