Dimension d'un anneau

Bonjour tout le monde, j'ai une question aujourd'hui sur la dimension de Krull d'un anneau. Soit $k$ un corps et $P:=Y^2-X^3\in k[X,Y]$. Je veux calculer la dimension de $A:=k[X,Y]/(P)$. Pour cela, mon idée est la suivante: je considère le morphisme évident $\varphi:k[X]\to A$ et je veux montrer que $\varphi$ est entier et injectif. Si c'est le cas, $A$ sera de dimension 1 (qui est la dimension de $K[X]$).

Pour montrer que $\varphi$ est entier il n'y a pas de soucis car $A$ est de type fini comme $K[X]$-module, engendré par $(1,y)$ où $y$ est la classe de $Y$ dans $A$.

Ensuite, je veux montrer que $\varphi$ est injectif. Mon idée est la suivante. Soit $f\in K[X]$ tel que $\varphi(f)=0$. Considérons $f$ comme un élément de $k[X,Y]$. Alors $\varphi(f)=0$ signifie que $f$ est dans $(P)$. Il existe donc $g\in k[X,Y]$ tels que:
\begin{equation*}
f=(Y^2-X^3)g.
\end{equation*}
Soit $a\in k$. L'évaluation de l'équation précédente en $(a^2,a^3)$ montre que $a^2$ est racine de $f$. A partir de la, je peux conclure que $f=0$ dans certains cas, par exemple si $k$ est de caractéristique 0 car dans ce cas, $f$ possède une infinité de racines (car $K^2$ est infini).

Donc si $k$ est de caractéristique nulle, $A$ est de dimension 1. Que se passe-t-il alors lorsque $k$ n'est plus de caractéristique nulle ? Peut-on montrer par une autre manière que $\varphi$ est injectif ? $A$ est-il encore de dimension 1 ?

Merci pour vos éclaircissements!

Réponses

  • Une considération sur les degrés en $Y$ montre immédiatement que $f=0$.
  • Oui c'est vrai... Merci Poirot.
  • J'ai une seconde question que je pose ici pour ne pas recréer un sujet. Soit $A$ un anneau commutatif et $p$ un idéal premier de $A$. Je note $A_p$ le localisé de $A$ en $A\setminus p$. Soit maintenant $s\notin p$ et $A_s$ le localisé de $A$ en $S:=\{s^n,n\in \N\}$. On sait que $A_p$ est un anneau local d'unique idéal maximal $p_p$. Est-ce-que $A_s$ est aussi un anneau local ?
  • Strictement aucune raison qu'il le soit. Prend $s$ inversible dans $A$ par exemple.
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