Espace $L^1$

$\newcommand{\L}{L}$Bonjour !
Je bloque sur deux petites questions.

Soient $(X, T, \mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite de $L^1(\mu)$ convergente presque partout vers une fonction mesurable $f : X \rightarrow \R$. De plus, $(f_n)$ est croissante.
1) Montrer l'existence d'une suite de fonctions $g_n \in\L^1(\mu)$ telle que $f_n$ est la classe de $g_n$ et $g_{n+1} \geq g_n$.
2) Montrer que $f \in L^1(\mu) \Leftrightarrow \lim \int_X f_n d\mu < + \infty $.

Je tiens à préciser que $L^1$ est une nouvelle notion donc je ne suis pas très à l'aise ...
De ce j'ai compris $ L^1 (\mu)$ est l’ensemble des classes d’équivalence de $\L(\mu)$ pour la relation $\sim \mu$. De manière équivalente, $L^1(\mu)$ est l’espace vectoriel quotient $\L^1(\mu)/V_0(\mu)$, et une classe d’équivalence de $\L^1(\mu)$ pour la relation $\sim \mu$

1) J'ai voulu utiliser le théorème de convergence dominée mais en fait je me suis rendue compte que cela ne répondait pas à la question.
Parce que finalement, ce qu'il faut que je montre c'est que $g_n$ est intégrable .
Je ne sais vraiment pas comment faire ... Si quelqu'un à une idée/piste je suis preneuse !

Pour information je n'arrive pas à faire en LaTex le bon signe donc dans ce que j'ai écrit $\L^1(\mu) := \{ f : X \rightarrow \R\mid f\ \text{ est }\ \mu\text{-intégrable}\}$.
Je vous remercie.
Bien cordialement

Réponses

  • Pour le 2) théorème de la convergence monotone (de B. Levi...)

    Le 1) paraît bizarre sous cette forme.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Bonsoir, par hypothèse, $(f_n)$ est une suite croissante de fonctions $L^1$ et pour tout $n$, $f_n=f_n$ pp bien évidemment. Donc pour la question 1., $g_n=f_n$ pour tout $n$ convient. Comme le dit Gilles, il doit y avoir un problème dans l'énoncé.
  • Je ne crois pas qu'il y ait un problème dans l'énoncé, c'est plutôt dans les notations. Je pense que LauraLe voulait écrire :

    "1) Montrer l'existence d'une suite de fonctions $g_n \in\mathcal L^1(\mu)$ telle que $f_n$ est la classe de $g_n$ et $g_{n+1} \geq g_n$"

    où $\mathcal L^1(\mu):=\{ f : X \rightarrow \R\mid f\ \text{ est }\ \mu\text{-intégrable}\}$. Donc les éléments de $\mathcal L^1(\mu)$ sont bien des fonctions et pas des classes d'équivalence tandis que $L^1(\mu)= \mathcal L^1(\mu)/V_0(\mu)$ et pour tout $n$, $f_n$ est une classe d'équivalence car élément de $L^1(\mu)$.

    PS. $V_0(\mu)$ étant naturellement le sous-espace de $\mathcal L^1(\mu)$ des fonctions nulles presque partout.
  • Bonjour à tous !

    Oui effectivement mais étant donné que même quand je mettais en italique on ne différentiait pas bien les deux $L$ j'en avais mis un en rouge mais mon message a été modifié.
    Si vous pouviez me dire sous LaTex comment faire cela m'arrangerait pour les prochaines fois ;)

    Donc pour la 1) c'est exactement la consigne qu'a écrite raoul.S , je vous remercie.

    Pour la 2) , j'ai suivi le conseil de gilles benson,
    Appliquons le théorème de convergence monotone :
    Soit $(f_n) \in L^1(\mu)$,
    Pour tout $n \geq 1$ pour tout $ x \in X$ , $f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$ presque-partout
    Alors, $f : X \rightarrow R$ tel que $x \rightarrow lim_{n \rightarrow + \infty} f_n(x)$ est mesurable
    De plus, $(\int_X f_n d \mu)_{n \geq 1}$ converge et $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_X f_n d\mu = \int_X fd \mu < +\infty$

    Mais je pense que cela ne répond pas à la question, et je pense aussi qu'il faut faire par implications "réciproques" (je ne sais pas si c'est le bon terme mais ce que je veux dire c'est d'abord supposer que $f \in L^1(\mu)$ et montrer que $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_X f_n d\mu < + \infty$ et échanger)
  • Pour la 2) si tu veux appliquer le théorème de convergence monotone il faut que tes fonctions soient à valeurs dans $[0,+\infty]$, donc à priori tu ne peux pas invoquer ce théorème pour obtenir l'égalité $\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_X f_n d\mu = \int_X fd \mu$ comme tu l'as fait...

    Ensuite comme tu l'as dit il faut montrer le sens direct (la réciproque c'est ce que tu as essayé de montrer), c'est à dire l'implication $f \in L^1(\mu) \Rightarrow \lim \int_X f_n d\mu < + \infty$.

    PS. Pour le $\mathcal L^1(\mu)$ en LaTeX c'est
    \mathcal L^1(\mu)
    
  • Bonjour, ma référence du théorème de convergence monotone ne demande pas la positivité des $f_n$ mais celle de $\mu$, hypothèse qui manque aussi.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • 1) En fait je ne vois pas ce qu'il faut utiliser parce qu'ici on me demande de montrer l'existence d'une suite alors que par exemple le théorème de convergence dominée donne l'existence d'un $g \in \mathcal L^1(\mu)$ (merci au passage raoul.S pour le LaTex).

    2) Oui à vrai dire j'ai du mal encore à saisir ce que veut dire $(f_n) \in L^1 (\mu)$ donc je n'ai pas fait attention que ce n'était pas à valeur dans $[0, +\infty]$. En revanche $f : X \rightarrow R$ donc j'ai fait preuve de manque de rigueur.
    Par conséquent, je pense il va falloir utiliser à un moment donné le théorème de convergence dominée.

    J'ai peut-être quelque chose pour montrer le sens réciproque. Un des problèmes est que je ne suis pas sûre que $f_n$ est mesurable.

    Soit $\lim \int_X f_n d\mu < + \infty$ et $f_n$ mesurable (là je doute) donc $f_n$ est intégrable .
    De plus, $(f_n)$ est une suite de $L^1 (\mu)$ convergeant presque partout vers $f$.
    Donc $f$ est intégrable (je doute aussi).
    Donc $f \in \mathcal L^1(\mu)$
    Et après je ne sais pas comment passer à $L^1 (\mu)$

    Je suis désolée si ce que j'écris est absurde, j'essaye de tenter et de m'exercer ;)
  • @gilles benson qu'elle est ta référence du théorème de convergence monotone par curiosité ? car moi je ne connais que celle énoncée ICI.
  • @LauraLe pour la 1) le théorème de convergence dominée n'a rien à voir.

    Est-ce que tu sais donner la définition de $\mathcal L^1(\mu)/V_0(\mu)$ ?

    Rappel : $\mathcal L^1(\mu):=\{ h : X \rightarrow \R\mid h\ \text{ est mesurable et }\ \mu\text{-intégrable}\}$ et $V_0(\mu)$ est l'ensemble des fonctions de $X$ dans $\R$ mesurables et nulles presque partout (c'est un sous-ensemble de $\mathcal L^1(\mu)$, tu vois pourquoi ?)
  • Je vais essayer.

    Un élément de $L^1(\mu)$ est une partie de $\mathcal L^1(\mu)$ du type$ f + V_0(\mu) := { f + g : g \in V_0(\mu)}$, pour un $f \in \mathcal L^1(\mu).$

    Oui je crois savoir c'est même un un sous-$\R$-espace vectoriel de $ \mathcal L^1(\mu)$.
  • @raoul: bon, de manière générale, l'hypothèse de positivité des fonctions est claire: cf Rudin, mais curieusement dans mon vieux bouquin de maîtrise: Paris 6 écrit par Roger Descombes, c'est la variante que j'ai indiquée que l'on trouve...
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • @LauraLe OK c'est juste.

    Pour ne pas confondre les fonctions de $\mathcal L^1$ des éléments de $L^1$ (qui sont des sous-ensembles de $\mathcal L^1$ comme tu l'as dit) il vaut peut-être mieux noter $[f]:=\{ f + g : g \in V_0(\mu)\}$ la classe d'équivalence de $f\in\mathcal L^1$. Dans l'énoncé de ton exercice par contre ils ne font pas cette distinction ce qui peut prêter à confusion de prime abord.

    Dans la question 1) on te dit que la suite $([f_n])$ (je continue à utiliser les crochets pour montrer qu'on a affaire à des classes d'équivalences) est croissante. Est-ce que tu peux dire ce que ceci signifie étant donné que les $[f_n]$ ne sont pas des fonctions ? En d'autres termes, comment donner un sens à $[f_n]\leq [f_{n+1}]$ ?


    @gilles benson ok.
  • Oui c'est vrai vous avez raison et au début je n'avais pas compris que ce n'étais pas une fonction. On le note nous $\bar f$ mais les crochets me vont aussi.

    Cela veut dire que si $f_n+ V_0(\mu) \in [f_n]$ alors $f_n+ V_0(\mu) \leq f_{n+1}+ V_0(\mu) $

    J'ai peut-être une idée pour la 1)

    On peut prendre pour tout $n$ , $h_n \in [f_n]$,
    $g_n = h_n $ presque-partout et $g_n=0$ lorsque $h_n > h_{n+1}$

    Après j'ai trouvé en tâtonnement mais je ne sais pas bien l'expliquer.
  • @LaureLe $[f_n]\leq [f_{n+1}]$ signifie qu'il existe $h_1\in[f_n]$ et $h_2\in[f_{n+1}]$ tels que pour presque tout $x\in X$, $h_1(x)\leq h_2(x)$.

    Pour la 1) c'est le genre d'argument qu'il faut utiliser effectivement mais le tien n'aboutit pas car tu définis $g_n$ à partir de $h_{n+1}$... il faut faire le contraire : définir le terme d'indice $n+1$ à partir de celui d'indice $n$.

    Petite aide : on commence par l'indice $0$, on choisit $g_0\in [f_0]$. Puis on doit trouver $g_1\in[f_1]$ tel que pour tout $x\in X$ (attention ici la consigne de l'exercice est pour tout et pas "pour presque tout"), $g_0(x)\leq g_1(x)$. Est-ce que tu arrives à trouver $g_1$ ?
  • D'accord !

    On peut prendre peut-être $g_1 = f_1$
    Car vu qu'on sait que $[f_n]\leq [f _{n+1}]$ , on peut prendre $f_0 \in [f_n]$ et $f_1 \in [f_{n+1}] $
    Or, $g_0 \in [f_0]$ et $g_1 \in [f_1] $
  • Si tu prends $g_1 := f_1$ tout ce qu'on peut dire, étant donné que $[f_0]\leq [f_1]$, est que $g_0(x)\leq g_1(x)$ pour presque tout $x\in X$. Mais l'énoncé demande à ce qu'on ait $g_0(x)\leq g_1(x)$ pour tout $x\in X$.

    Il faut que tu résolves le cas des points $x$ pour lesquels $g_0(x)>f_1(x)$...
  • Ah oui oui parce que $[f_n] \leq [f_{n+1}]$ presque partout

    Si $g_0 (x) > f_1(x)$ alors $g_0 = 0$ car $g_1 \in [f_1]$ et $f_1 \in [f_1]$ et qu'il faut que pour tout $n \in \N $ $g_n \leq g_{n+1}$
  • Tu ne dois pas modifier $g_0$, c'est $g_1$ que tu dois définir. Le but est de définir le terme d'indice $n+1$ de ta suite à partir des termes d'indices inférieurs (qu'on ne touche plus). Là on cherche à définir $g_1$ à partir de $g_0$.

    Je vais avancer un coup et tu essaieras de finir.

    Pour presque tout $x\in X$, $g_0(x)\leq f_1(x)$. Par conséquent, l'ensemble $X_1:=\{x\in X\mid\; g_0(x)>f_1(x)\}$ est de mesure nulle.

    On pose donc $g_1(x):=f_1(x)$ pour tout $x\in X\setminus X_1$, ce qui nous assure que sur $X\setminus X_1$, $g_0(x)\leq g_1(x)$. Mais il faut définir $g_1$ sur $X_1$, comment faire ?
  • Oui je me suis mal exprimée mais ce que je voulais dire c'est que $g_1 (x) = 0$ pour tout $x \in X_1$.
  • Mais rien ne te garantit qu'il n'y a pas un $x\in X_1$ tel que $g_0(x)>0$. Si un tel $x$ existe alors tu auras $0=g_1(x)< g_0(x)$ et ça ne marche pas...
  • Ah oui je n'avais pas pris en compte cette possibilité.

    Il faut prendre par exemple $g_1(x) = g_0 - a$ avec $a$ de telle sorte que $g_1(x) \neq 0$.

    Mais nous on cherche que pour tout $x \in X,\ g_{n+1}(x) \geq g_n$ et non $g_n(x) > g_{n+1}(x)$ donc en quelque sorte il faut "annuler".
  • Bon je vais faire un exemple numérique : suppose que pour un certain $x\in X_1$ tu as $g_0(x)=5.2$, quelle valeur tu peux choisir pour $g_1(x)$ pour avoir $g_0(x)\leq g_1(x)$... ?
  • On peut prendre $g_1(x)= 5.3$ par exemple, tous les nombres $\geq 5.2$

    Mais vous me demandiez de trouver $g_1(x)$ tel que $g_0(x) > g_1(x)$
  • OK pour l'exemple numérique.
    LauraLe a écrit:
    Mais vous me demandiez de trouver...

    Je crois qu'il y a un malentendu, relis la deuxième partie de mon message ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2135610,2136652#msg-2136652

    Je récapitule : on veut trouver $g_1\in [f_1]$ tel que $g_0(x)\leq g_1(x)$ pour tout $x\in X$.

    Pour ce faire, on a défini $g_1$ sur $X\setminus X_1$ en posant $g_1(x):=f_1(x)$ pour tout $x\in X\setminus X_1$. Mais étant donné que $f_1(x)<g_0(x)$ pour les $x\in X_1$, on ne peut pas définir $g_1(x):=f_1(x)$ également sur $X_1$. Il faut donc trouver autre chose pour les points $x$ qui sont dans $X_1$.

    PS. Relis bien la définition de tous les éléments qui entrent en jeux autrement on ne va pas se comprendre...
  • Ah oui en fait je commence à tout mélanger.

    On peut prendre $g_1(x) = - g_0 (x)$
    Si ce n'est pas cela je n'ai plus d'idée et il [doit] y avoir quelque chose qui m'échappe.
  • bon presque... c'est $g_1(x):=g_0(x)$ qu'il faut poser pour les $x\in X_1$.

    Donc finalement $g_1:X\to \R$ est définie par $g_1(x):=f_1(x)$ pour tout $x\in X\setminus X_1$ et par $g_1(x):=g_0(x)$ pour $x\in X_1$ et là tu devrais trouver évident que :

    1) Pour tout $x\in X$, $g_0(x)\leq g_1(x)$ (ce qui s'écrit aussi $g_0\leq g_1$)
    2) $g_1\in [f_1]$

    Ensuite on continue de la même façon et on défini $g_2, g_3,...$ etc. Bref on peut définir la suite $g_n$ par récurrence et ça répond à la question 1) de ton exo.
  • Bonjour
    Oui j'ai compris les notions et fait d'autres exercices et en me repenchant sur celui-ci j'ai réussi à le finir.
    Je vous remercie pour votre aide !
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