1+1=?

hbaba · October 2005

Bonjour, je suis prof de sciences physiques en collège et j'aurais voulu montrer à mes élèves que 1+1 peut valoir autre chose que 2. J'ai vu cette démonstration en maths sup mais je ne la retrouve pas. Quelqu'un pourrait-il m'apporter quelques lumières? Merci d'avance

Toto.le.zero · October 2005

ben dans $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$, et bien 1+1=0. Faut savoir de quoi on parle quand on considère l'opération "1+1".

P.S: rien.

Superfly1 · October 2005

Et puis tu peux les faire compter en binaire, je le fais au moins une fois par an avec mes collegiens :
1,10,11,100,101, etc, cela les amuse beaucoup

hbaba · October 2005

mes souvenirs mathématiques sont bien brumeux. Qu'est-ce Z/2Z? Auriez-vous une démonstration complète?

Toto.le.zero · October 2005

Euh $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ c'est le groupe quotient du groupe $\mathbb{Z}$ par le sous-groupe $2 \mathbb{Z}$...pas sûr que ça soit très clair pour un collégien ou un lycéen.

Tu peux leur dire que 1+1 est congru à 0 modulo 2. Il suffit de rajouter une barre horizontale au signe égalité :-)

Plus sérieusement, si tu parles de l'opération 1+1 dans $\R$ et bien cela fera toujours 2, que tu l'exprimes en base 10 ou 78. Seule la notation changera. Par contre, dans d'autres corps, cette addition vaudra ce qu'elle vaudra, et dans $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ elle vaut 0. Pas sur que je sois très clair sur ce coup-là...

P.S: rien.

ryo0 · October 2005

On peut voir $Z/2Z$ de cette facon :
on considere un entier $n$
si cet entier est impair on le note $1$ (en termes technique c'est le reste de la division euclidienne de $n$ par $2$ ou alors c'est la congruence modulo $2$ de $n$ mais ca ce sera dur a faire avaler a des collegiens)
si cet entier est pair on le note $0$ (meme charabia de matheux)

ensuite tu prend deux entiers impairs $n$ et $m$ qu'on va coder donc coder $1$ et $1$
en les ajoutant un obtient un entier pair qu'on va coder $0$
donc dans ce cas $1+1=0$ et ce que tu as fait en fait c'est une addition dans $Z/2Z$!

Par contre les $n$ et les $m$ les collegiens n'aiment pas trop avant la troisieme je pense (le calcul litteral n'est pas encore vu en quatrieme a cette epoque de l'annee) donc il vaut peut-etre mieux prendre un exemple dans ce cas la si tu veux que ce soit un peu percutant

Lionel210 · October 2005

Tu as une application concrete : l'informatique et le binaire (algebre de boole).

Yalcin · October 2005

1+1=1,99999999..........

jacques1 · October 2005

C'est la définition de 2 : le suivant de 1.

jaybe · October 2005

Sans utiliser de terme barbare pour des collégiens, on peut définir l'opération $x "+" y$ sur les entiers comme le reste de la division euclidienne de $x+y$ par 2. Cela devrait leur être accessible que le résultat, qui est forcément 0 ou 1, ne dépend que de la parité de $x$ et de celle de $y$.

GG5 · October 2005

bonjour,
 
 " ... et j'aurais voulu montrer à mes élèves que 1+1 peut valoir autre chose que 2."
 
 A mon sens, cette phrase est de nature à entretenir une certaine confusion chez les élèves. Je m'explique : à l'écoute des mots "1+1" et "2", on ne peut empêcher le réflexe de jouer, qui est de penser aux nombres usuels (entiers, éventuellement réels) et d'y associer les opérations usuelles définies sur ces nombres. Aussi dans ce contexte, je pense avec Toto.le.zero que 1+1 ne peut valoir autre chose que 2. L'addition modulo 2 n'est pas définie sur ces nombres-là.
 
 Le plus raisonnable me semble alors de dire qu'on peut définir d'autres objets, munis d'une autre addition et que ce n'est que par analogie qu'on note 1 l'un de ces objets et + cette addition. C'est pratique mais dangereux.

Z.M.H · October 2005

Bonjours
J'ai vu une démonstration de (2=1) mais c'était une fausse démonstration (donc même pas la peine de l'appeler démonstration) qui est la suivante :
x^2 - x^2 =x^2 - x^2 <=> x(x-x)=(x-x)(x+x)
<=> x= x+x
<=> x=2x
<=> 1=2;
Qui pourras trouver la faute !!!
Et tu pourras dire à tes élèves que 1=2\Leftrightarrow1+1=2+1=3; mais il faut leur expliquer l'erreur après ; car c'en est une très grossière.
Cordialement

Z.M.H · October 2005

désolais j'ai male ecri avec LaTeX:
x^2 - x^2 = x^2 - x^2 equivau a x(x-x)=(x-x)(x+x)
equivau a x=x+x
equivau a x=2x
equivau a 1=2;
Voilla!!

bisam0 · October 2005

Il y a en fait 2 fautes : tu simplifies par (x-x) alors que x-x=0 puis tu resimplifies par x sans vérifier si x=0 ou pas.
L'erreur principale étant bien entendu la première !

ipse · October 2005

L'erreur vient du fait qu'on n'a pas le droit de divider par 0 (ici,il s'agit de x-x).
ipse

gougou · October 2005

Z.M.H. : "J'ai vu une démonstration de (2=1) mais c'était une fausse démonstration "

J'aime bien le "mais" ! quelqu'un connait une "vraie" demonstration ?

Alain Debreil · October 2005

Bonjour

J'ai une démonstration magnifique de 2=1, mais je n'ai pas assez de place dans la marge ...

Alain

)

Jules Renucci · October 2005

Alain, ce n'est pas Jamel qui dirait ça...

Jé · October 2005

Jules, pas Jamel mais Pierre De ...

Jules Renucci · October 2005

Jé !! J'avais compris l'allusion d'Alain (la célèbre mention de Fermat!)

Pour plus de détails reporte toi au fil "Fermat encore" C'est là que Jamel a pu remplir la fameuse marge...

Gari · October 2005

Je rejoins tout à fait GG sur le fait que 1+1 est toujours égal à 2, et que si on veut leur montrer d'autres résultats il faut être extrêmement prudent.

Dans le même répertoire des 2=1, en voilà une autre (je ne me rappelle plus où je l'ai trouvée, si ça se trouve c'est sur le présent forum dans un fil enterré depuis longtemps).

on va chercher la dérivée de la fonction $x^2$ de deux manières différentes. On note la dérivée par l'apostrophe (on cherche dont $(x^2)'$).

Première méthode :
$(x^2)'=2x$, je n'explique pas comment j'obtiens ce résultat extraordinaire

Seconde méthode :
$x^2$ peut s'écrire $x.x$. Cela revient à additionner $x$ $x$ fois : $x.x=\underset{x\;\textrm{fois}}{\underbrace{x+x+\dots+x}}$ .
On peut donc écrire $(x^2)'=(\underset{x\;\textrm{fois}}{\underbrace{x+x+\dots+x}})'= \underset{x\;\textrm{fois}}{\underbrace{1+1+\dots+1}}=x$

On obtient donc par la première méthode $(x^2)'=2x$ et par la seconde $(x^2)'=x$. Par identification, on en déduit $2x=x$. En considérant $x$ non nul, on obtient finalement $2=1$.

Bien sûr, cette démonstration est d'un niveau un peu supérieur à celui de 3ème, mais je dois avouer m'être cassé les dents dessus lorsque je l'ai vue pour la première fois (en même temps, je ne suis pas matheux, donc je suis à moitié pardonné, hein ?).

gougou · October 2005

Quand j'étais petit et que je connaissais pas les complexes et mal la logique, on faisait

soit l'équation

$x^2+x+1=0$
on multiplie par $x$
$x^3+x^2+x=0$

par soustraction

$x^3-1=0$

donc $x=1$ ($x\in \RR$ par hypothèse, on connait que ça)

et en reportant dans l'équation initiale $1^2+1+1=0$ donc $3=0$

Je complète pour arriver au bon résultat :

puis en retranchant 1 $2=-1$

en passant aux valeurs absolues

$2=1$.

En fait c'est pas si faux que ça tout ça, c'est simplement un problème de confusion entre une implication et sa réciproque.

RAISSOUNI Anass1 · October 2005

voila les gars j'ai touvé une contradiction dans le fait que 2=1
supposons 2=1 et considérons l'ensemble {hbaba,intelligent}à priori l'ensemble contient deux éléments et puisque 2=1 alors contient un élément donc hbaba est intelligent ce qui est absurde;)

Anass

kalaghan · October 2005

Aucune remarque sur la démo de Gari ?
Tu considères x->x² ,elle ne peut pas être dérivable sur les entiers.

jctout · October 2005

Elle utilise un artifice: quand il dit x fois, cela necessite que x soit entier.

Rémi Chautard · October 2005

$a$ et $b$ deux réels non nuls.

$a=b$ équivaut à :
$a^{2}=ab$
$a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$
$(a+b)(a-b)=b(a-b)$
$a+b=b$
$2b=b$
$2=1$

Cherchez l'erreur (faisable au collège)...

jeffix · October 2005

Bon exemple en effet ou il faut faire attention aux simplifications vite faites ! Ca sert a bien comprendre qu'on ne peut pas faire ce qu'on veut avec des équations ayant l'air de se ressembler

hassan3 · October 2005

Et personne parle de 2+2=5 , pourtant celle-ci est aussi fameuse .

(Je prends deux cordes contenant deux noeuds et je les noue , alors 2+2= 5 , même Euler s'est penché dessus!)

gougou · October 2005

Il ya aussi $\pi=2$,

on approche un segment de longueur 2 par le demi-cercle de diametre ce segment , la longueur de ce demi-cercle est $\pi$.

Puis on change ce demi-cercle en deux demi-cercles de rayon moitié, la longueur totale reste $\pi$.

Puis on recommence en coupant en deux chaque demi-cercle.

Quand on fait tendre le nombre de demi-cercles vers l'infni, la courbe composée de ces demi-cercles successifs tend (uniformément !) vers le segment, donc les longueurs à l'infini sont égales, donc $\pi=2$

je sais pas faire de dessin, mais ça ressemble à

$

$

approché par

$\cap\!\!\cap\!\!\cap\!\!\cap\!\!\cap\!\!\cap\cdots\cap$

La philosophie étant : approcher une courbe par des segments pour approcher des longueurs ou des aires c'est ok, mais approcher des segments par des courbes c'est non ! ça prouve que c'était utile de &quotconstruire" proprement l'intégrale.

Jules Renucci · October 2005

Pour Hassan : Peut-on parler dans ton exemple d'un "noeud double"?
(non pas d'un "double noeud")

hbaba · October 2005

pas très sympa anass de dire que "hbaba intelligent est absurde". hbaba a finalement trouvé plusieurs réponses à sa question soit 1+1=0 en fait. merci à tous!

Rudy · October 2005

Bonjour,

Moi je rejoins tout à fait GG et Gari : c'est avec ce genre de chose que l'on fait passer les math pour ce qu'elles ne sont pas. En Algèbre de Boole on écrit bien 1+1 = 1, - et ça n'a vraiment rien d'extraordinaire puisque les symboles/signes n'ont plus la même signification.

Rudy

1+1=?

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