Faisceau des 1-formes sur P^n

Heinz,
Ce n'est pas si facile, je trouve. Est ce que je peux te conseiller une lecture (assez courte, je veille au grain) ?

$\def\P{\mathbb P}$Mauricio
Une fois que Heinz aura répondu ...etc... j'aimerais bien te parler de quelque chose autour de ce que les géomètres nomment ``Euler sequence'' (relatif au fibré cotangent de $\P^n$).

Quelque chose du genre (bigre) : comment géomètres et algébristes peuvent-ils se comprendre ? Mais non, je n'ai pas bu. Pour moi, ``Euler sequence'' est étroitement lié à un tout petit morceau du complexe de Koszul descendant de $(x_0, \cdots, x_n)$.

Mais pour l'instant, je ne souhaite pas interférer avec Heinz.

Quelle est ta question au juste? (très joli cours que je ne connaissais pas).
M.
PS:Pas de problème pour Koszul.

Oui, il y a un lien, la suite exacte d'[large]E[/large]uler (ou sa duale) est simplement le complexe de [large]K[/large]oszul tronqué (plus précisément celui associé à la -section $(x_0,\ldots,x_n)$ de $O(1)^{n+1}$ qui est régulière), que l'on a complété par la noyau de la flèche $K_1\to K_0$, qui est donc l'image de ton $K_2$ et qui "est" le fibré cotangent (au sens où le faisceau associé au module gradué en question est le fibré cotangent sur $\mathbb{P}^n$.

[Leonhard Euler (1707-1783) et Jean-Louis Koszul (1921-2018) prennent toujours une majuscule. AD]

Juste une remarque, et une question.
J'imagine que par unimodulaire tu veux dire qui engendre l'idéal unité?

Oui, bien sur mais l'on est en gradué, il ne faut pas engendré l'idéal unité pour être à support vide, il suffit d'engendrer l'idéal des éléments de degré positif.
Dit autrement, le complexe de Koszul est exact hors du lieu d'annulation de la section qu'on a utilisé pour le définir, ici donc exact partout.

Mais Gathman ne fait pas exactement ce que tu dis.
Il calcule simplement le noyau de $K_1\to K_0$ mais ne montre pas que c'est l'image de $K_2\to K_1$, il se contente de prouver que c'est le fibré cotangent.

Ai-je bien compris ta remarque?

Edit: Je ne prétends pas que ce que fait Gathman implique que le complexe de Koszul soit exact même en $K_1$, ni qu'il utilise ce fait.

Salut Claude,
C'est assez simple en effet, mais pas forcément très clair. Peut-être le cas $n=2$ peux t'aider. Tu as une droite avec deux ouverts affines. Sur un des ouverts affine tu notes $x=x_1/x_2$ ta coordonnée affine. Le module des différentielles est libre engendré par $dx$. Ton complexe se ramène à
$$0 \to k[x] \to k[x]^2 \to k[x] \to 0 $$
La première flèche est $a \mapsto (a,-xa)$ et la seconde est $(a,b) \mapsto xa+b$.
Clair ? (le cas général est identique)
M.

$\def\P{\mathbb P}$NoName, Mauricio

Je comprends un peu mais probablement je ne peux pas comprendre plus. En tout cas, si j'ai bien compris (sic), ce que fait Gathmann ne détermine pas le noyau algébrique de $\partial_1 : K_1 \to K_0$ avec les notations que j'ai utilisées dans mes précédents posts.

Il me semble que si on voulait déterminer LE module gradué qui encode le faisceau cotangent à $\P^n$, on aurait besoin de déterminer ce noyau algébrique. Et même un peu plus : savoir que le complexe de Koszul de $(x_0, \cdots, x_n)$ est exact. Je dis bien LE module gradué car, certes, il y en a plusieurs mais un seul qui possède une bonne propriété de profondeur. Et cette propriété de profondeur est justement liée à la résolution libre graduée minimale de l'idéal $\langle x_0, \cdots, x_n\rangle$. Je n'en dis pas plus ici.

Je suis en train de lire les sections concernées 13, 14, 15 de Gathmann que je n'avais pas vraiment lues et je ne vois pas de gradué chez lui.

Enfin, un brouillon de mézigue écrit il y a 10 ans pour mézigue.

Néanmoins, deux remarques.
Ce que tu fais est en un sens fondamentalement plus fort que ce que fait que Gathman, puisque tu prouves une suite exacte de module gradués donc une suite exacte de sections, alors que Gathman prouve une suite exacte de faisceau.

Est ce que la suite exacte longue donnée par la suite exacte d'Euler (duale de celle de mon dernier message) donne TOUT le complexe de Koszul et donc de facto son exactitude (enfin son dual j'imagine)? Possible. Je regarderai.

Ce que je sais ou ai su du complexe de Koszul se trouve dans Algebra de Lang.

Ce que j'en retiens c'est essentiellement la chose suivante.

Si $R$ est local noethérien, et si $(a_i)$ est une suite d'éléments de $R$ qui sont dans l'idéal maximal et $M$ un $R$-module de type fini alors $(a_i)$ est une suite régulière ssi le complexe de Koszul est une résolution de $M/(a_i)M$,

En pratique je me limite même au cas $M$ libre et même $M=R$, car je n'utilise ceci que pour des fibrés.

Mais tu as raison la suite exacte longue de cohomologie ne redonne pas du tout le complexe de Koszul.

Et en effet je ne vois pas comment à partir de la suite exacte que j'ai écrite plus haut, retrouver l'exactitude en $K_1$ sans faire le calcul à la main.

Je précise quand même que même en tentant de relier le complexe de Koszul à ce que fait Gathman, ce qu'il est assez naturel de regarder c'est un calcul local (en tout cas ce que je mentionnais au début), le complexe de Koszul est un complexe de faisceaux/fibrés et ce que prouve Gathman est une suite exacte de faisceau. Toi ce qui t'intéresse (?) c'est un objet global, le complexe de Koszul de $k[x_0,...,x_{n+1}]$, on peut raccrocher les wagons en regardant la suite exacte que j'ai mentionné plus haut, mais on ne raccroche en effet que le premier wagon (i.e ce que tu obtiens en tronquant le complexe de Koszul en $K_1$ et en rajoutant le noyau à gauche) et on a pas l'exactitude en $K_1$.

Bonjour NoName
Ce que tu dis m'intéresse, mais je débute encore dans ces choses, notamment je ne suis pas extrêmement à l'aise avec la cohomologie des faisceaux. On va dire que j'en connais la définition comme un foncteur dérivé, et que je veux bien admettre deux ou trois théorèmes dessus, par exemple, les propriétés énoncées par Vakil dans la section 18.1 ici : http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf

Peux-tu développer un petit peu ta dernière phrase, et expliquer comment l'identification d'un module gradué associé à un faisceau se ramène à un calcul de cohomologie ?

Pour moi, le module gradué associé à un faisceau quasi-cohérent $\mathscr{F}$ sur $\mathbb{P}^n$, c'est $\Gamma_{\bullet}(\mathscr{F}) := \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}}\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathscr{F}(n))$. Es-tu en train de dire que la détermination de $\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathscr{F}(n))$ passe par un calcul de cohomologie ? Si oui, as-tu un exemple ou une référence contenant un joli calcul explicite de ce type, qui pourrait m'aider un peu à comprendre le principe ?

EDIT. Par exemple, pour le cas de $\Omega_{\mathbb{P}^n}$, si je cherche le module gradué qui lui est associé.

À partir de ta suite exacte
$$
0 \to \Omega(p) \to \mathscr{O}(p-1)^{n+1} \to \mathscr{O}(p) \to 0

$$ Si j'applique $\Gamma(\mathbb{P}^n, -)$, qui est exact à gauche, j'ai une suite exacte $$
0 \to \Gamma(\mathbb{P}^n, \Omega(p)) \to \Gamma(\mathbb{P}^n, \mathscr{O}(p-1)^{n+1}) \to \Gamma(\mathbb{P}^n, \mathscr{O}(p))

$$ Puisque $\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathscr{O}(p-1)^{n+1}) = k[x_0,\ldots,x_{n}]_{p-1}^{n+1}$ et $\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathscr{O}(p)) = k[x_0,\ldots, x_{n}]_{p}$, on retrouve bien ton module $M_p$. Est-ce bien ce que tu fais dans ce post ?

Là du coup je ne vois pas de cohomologie de faisceau apparaître.

D'accord, merci pour les précisions !

Oui je trouve le traitement de Lang très bon. Apres ce que j'en retiens, c'est ce dont j'ai besoin très souvent. Je ne sais pas quelle est la différence entre depth et profondeur (je ne connais/utilise qu'une notion de profondeur, encore une fois dans le cas local Noethérien) ou suite régulière et complètement sécante (qui est un terme que j'entends pour la première fois), mais je ne demande pas mieux que de le savoir :-D

Pour le reste, le fibré/faisceau cotangent en géométrie algébrique est relatif, c'est le fibré/faisceau (co)tangent à un morphisme. En particulier c'est canoniquement un faisceau de module sur la base. Ici, on regarde $P^n$ sur $k$ (le faisceau cotangent au morphisme structural), du coup $\Omega$ est un faisceau de $k$-module, mais bien sur tu peux le faire sur $\mathbb{Z}$ et la construction des différentielles est stable par changement de base.

Salut Claude,

Difficile d'enfoncer des portes ouvertes car pour moi elles sont presque toutes fermées.

Quand NoName me disait que "je ne sais pas si...", je crois qu'il parlait du cas général, et pas forcément du cas particulier de $\Omega_{\mathbb{P}^n}$.

Je ne connais pas le théorème que tu mentionnes (Auslander-Buschbaum-Hochster). J'ai trouvé ce pdf de Thierry Coquand sur le sujet: http://www.cse.chalmers.se/~coquand/exact1.pdf, et j'imagine que tu utilises ici le théorème 4.2, j'ai bon?

Ensuite, je ne comprends pas tout-à-fait ta justification du fait que $M_d \to \mathrm{H}^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{M} \otimes(d))$ est un isomorphisme. Je "sens" que puisque $\mathrm{Gr}(S_+ ; M) \geq 2$, il va y avoir une floppée de $H^1$ nuls, mais de $H^1$ de Koszul, et j'imagine qu'il va y avoir du travail de traduction pour en déduire que ce tu annonces est un isomorphisme.

Tu te places sur un corps. Y a-t-il un seul endroit où ce que tu dis n'aurait pas marché si on était sur $\mathbb{Z}$?


Bon, ensuite je fais un petit peu mon chiant: il y a un truc que je ne comprends pas tout à fait dans cette affaire: qu'est-ce que cet argument apporte de plus par rapport à "l'autre" calcul de $M_d$, celui qu'on fait en calculant "niveau par niveau" \begin{align*}
M_d := \mathrm{Ker}\left(k[x_0,\ldots,x_n]_{d-1}^{n+1} \to k[x_0,\ldots, x_n]_d\right) ?
\end{align*}

Ce que j'en comprends, c'est que tu montres de ton côté que le noyau de l'application entre module gradués \begin{align*}
\left(k[x_0,\ldots,x_n]_{\bullet - 1}\right)^{n+1} \to k[x_0,\ldots,x_n]_{\bullet}
\end{align*}

qui correspond à l'application dans la suite d'Euler est bien le module qu'on a décrit plus haut, celui calculé niveau par niveau, ce qui semble sous-entendre qu'on ne calcule pas "bêtement" un noyau entre modules gradués en calculant "niveau par niveau"? J'ai tort de croire que si?

Ou bien je n'ai pas compris, et le point important n'est peut-être pas le fait que c'est le noyau de $\partial_1$, mais l'image de $\partial_2$, et que le recourt à cette résolution libre et à la profondeur est alors nécessaire quand on a plus la chance de pouvoir exprimer simplement le faisceau comme un noyau?


EDIT:

En fait, je crois comprendre le gain: c'est vraiment le fait que c'est l'image de $\partial_2$: c'est bien beau que ce soit un noyau, mais en le présentant comme l'image de $\partial_2$, on a l'avantage d'avoir une présentation explicite: générateurs, résolution, etc... J'ai bon?

$\def\P{\mathbb P}\def\Gr{\text{Gr}}\def\Im{\text{Im}}\def\cM{\mathcal M}\def\cO{\mathcal O}\def\ux{\underline {x}}$ChatMaths
Tu as posé plein de questions mais je te réponds sur un seul point. Le contexte est $M$ un $S$-module gradué de présentation finie ...etc... L'équivalence
$$
M \mapsto \bigoplus_{d \in \Z} H^0(\P^n, \cM \otimes \cO(d)) \quad \text{est un isomorphisme de } S\text{-modules gradués} \qquad \Longleftrightarrow \qquad
\Gr(\ux ; M) \ge 2
$$est une évidence. Qui provient de la définition même de $\Gr(\ux ; M) \ge 2$ et de la définition du $H^0(\P^n, \ )$. Si ce n'est pas une évidence, cela serait bon que cela en devienne une.

J'ose à peine te poser la question car elle est indiscrète : le $H^\bullet(\P^n,\ )$ vient d'où chez toi ? De FAC, chapitre III ? D'ailleurs ? Quel est le complexe sur lequel sont montées tes affaires ?

Pourquoi parles tu d'une floppée de $H^1$ de Koszul nuls ?? Koszul, il va falloir le mettre en veilleuse et faire une place au complexe de Cech. Enfin, tout cela dépend de la manière dont sont montées tes affaires.

Bien sûr, il faut traduire une fois pour toutes ce que signifie $\Gr(\ux ; M) \ge 2$. C'est dit dans la section 2. de la note de Coquand.

Ce qui n'est pas évident, c'est le lien entre la profondeur de $\ux$ sur $M$ et une résolution libre de $M$. Mais ça, Auslander-Buchsbaum-Hochster l'ont fait pour nous : en 4.2 comme tu as dit. Et Thierry Coquand (petite parenthèse, qui vient de la logique) a fait un traitement que j'appelle élémentaire en 5 petites pages.

Par ailleurs, je ne sais pas trop comment le dire, mais il y a des choses qui me surprennent. Je vais encore répéter que ce que j'apprécie, c'est de faire des petites choses élémentaires. Fort possible que cela n'intéresse que moi.

Je viens encore de passer je ne sais combien de temps sur cette histoire de dérapage ``depth'' versus ``profondeur'' (je suis remonté aux premières versions françaises de Local Algebra, en 1975) mais je commence à me fatiguer.

$\def\P{\mathbb P}\def\Gr{\text{Gr}}\def\Im{\text{Im}}\def\cM{\mathcal M}\def\cO{\mathcal O}\def\ua{\underline {a}}$Salut ChatMaths. Je réponds de manière décousue.

1. En maths, chacun conduit sa barque comme il veut, je n'ai pas à juger. En tout cas, d'accord avec toi, parler cohomologie alors qu'il s'agit juste du $H^0(\P^n,\ )$ avec twists, c'est un peu snob.

2. Dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2123754,2129012#msg-2129012, un truc étrange : la définition de $\Gr(\ua) \ge 2$ (je ne mets pas de module) tombe aussitôt via le complexe de Koszul MONTANT de $\ua = (a_1, \cdots, a_n)$. Avec $a = \sum_i a_i e_i$, je couche à droite quelques termes du début
$$
\delta^k =_{\rm def} a \wedge \bullet : \bigwedge^k A^n \to \bigwedge^{k+1} A^n \qquad\qquad
\bigwedge^0 A^n = A, \qquad \bigwedge^1 A^n = A^n, \qquad \bigwedge^2 A^n = \bigoplus_{i < j} A.e_i \wedge e_j
$$il vient
$$
\delta^0(\lambda) = \lambda a, \qquad \qquad \delta^1(b) = \sum_{i < j} (a_ib_j - a_jb_i) e_i \wedge e_j \qquad\qquad
\delta^2\Bigl(\sum_{i,j} b_{ij} e_i \wedge e_j\Bigr) = \text {j'ai la flemme}
$$Il n'y a plus qu'à traduire ce que signifie $\delta^0(\lambda) = 0$, $\delta^1(b) = 0$, $\delta^2(\ ) = 0$. Et comme $\Gr(\ua) \ge 2$, c'est la nullité de $H^0(\ua), H^1(\ua)$, on tombe sur la ``définition'' de T.C. qui vient tout simplement de là !

3. En passant, je suis un maniaque : j'ai fait le choix de $a \wedge \bullet$. Comme cela, quand viendra le dual (à moins que le montant soit le dual du descendant), j'obtiendrais le produit intérieur DROIT (le produit intérieur tout court comme chez T.C. cela n'a pas de sens, c'est comme les anti-dérivations, il y en a à gauche et à droite). Je suis chiant.

4. Dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2123754,2128004#msg-2128004, pas compris par ce que tu entends par chercher le module gradué qui représente $\Omega_{\P^n}$. Sous quelle forme ? Bien entendu, on veut la structure de $S$-module gradué.

5. Dans ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2123754,2128750#msg-2128750, je n'ai absolument rien compris à partir de ``Bon, ensuite, je fais un petit peu mon chiant ....etc...'' jusqu'à la fin. Note : je l'ai relu au moins 5 fois. Je précise que je ne lis JAMAIS à l'écran. Cela m'empêche de lire vite (les posts que j'ai envie de lire, of course).

6. Cela ne me regarde pas mais en passant, tu en es où de cette histoire du ``bon'' $S$-module gradué $M$ qui représente $\Omega_{\P^n}$ ? Rappel : si $M$ convient, alors $S_+M$ aussi, qui est moins bon que $M$. Et pourquoi ne pas faire le truc avec le tangent ? Trop d'exemples ?

7. Pendant que j'y pense, mettre à jour la remarque 3.5.1 de Hartshorne (but the proof is more difficult, cf EGA III). Je parle de la remarque (devenue obsolète) qui suit le Th 3.5 page 215. Car depuis EGA III (1963), 1977 (Hartshorne), Suslin, Kempf (1980) sont passés par là (Some elementary proofs of basic theorems in the cohomology of quasi-coherent sheafs).

8. Ce qui m'a fatigué hier : je n'ai pas trouvé la traduction en français de ``depth''. Et je ne sais pas si l'infâme AC X (Profondeur, régularité, dualité) de Bourbaki à été traduit en anglais. Juste pour voir le titre.

9. J'ai essayé de répondre à quelques unes de tes questions.

$\def\P{\mathbb P}\def\Gr{\text{Gr}}\def\Im{\text{Im}}\def\cM{\mathcal M}\def\cO{\mathcal O}\def\ux{\underline {x}}$Rebonjour ChatMaths
Je trouve que cela devient plus facile de répondre car les questions sont plus précises. Cela devient aussi plus fatiguant et toi tu n'as pas trop le temps.

$\bullet$ 0. Une remarque préliminaire. C'est moi-même qui ait commencé à faire le c.n en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2123754,2126746#msg-2126746 (dans lequel on voit l'étendue de mon ignorance) puis j'ai continué en particulier en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2123754,2126790#msg-2126790 et bien sûr dans d'autres posts.

Je ne sais pas si tu as vu le post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2123754,2127614#msg-2127614, avec un brouillon attaché, où je parle de $\Im \partial_2$ (égal à $\ker \partial_1$) comme module gradué définissant $\Omega_{\P^n}$. En des termes qui ne sont probablement pas les bons (pas le ``bon langage'' comme tu dis) mais c'est pas de ma faute, je ne suis pas géomètre (il me semble que ce n'est pas la première fois que je m'en excuse).

$\bullet$ Point 5.

$\blacktriangleright$ A. Oui, ce que l'on veut, en un premier temps, c'est un $S$-module gradué tel que $\widetilde M = \cM =_{\rm ici} \Omega_{\P^n}$. Of course $\bigoplus_{d \in \Z} \Gamma(\P^n, \cM \otimes \cO(d))$ convient mais c'est un peu une réponse de normand.

$\blacktriangleright$ B. Cela veut dire quoi pour toi que $M$ est saturé ? Est ce que cela ne voudrait pas dire que $\Gr(S_+ ; M) \ge 2$ ? C'est mon histoire de bon.

Un exemple : soit $I$ un idéal homogène de $k[x_0, \cdots, x_n]$. Alors, il faut prendre le temps de vérifier que $\Gr(\ux ; I) \ge 2$, cela équivaut à $I$ saturé au sens usuel i.e. $x_iF \in I$ pour tout $i$ entraîne $F \in I$.

Attention à ne pas prendre tout de suite ses désirs pour des réalités : par exemple $\Gr(\ux ; M) \ge 2$ cela entraîne $\Gr(\ux^e ; M) \ge 2$ mais demande du travail si on le fait ``à la main''. Le deuxième outil utile et adapté qui mesure la profondeur c'est le complexe de Cech qui a certain nombre d'avantages sur Koszul (il est ``stable'').

$\blacktriangleright$ C. Si de plus dans le point A. le module gradué $M$ vérifie $\Gr(S_+ ; M) \ge 2$, on est content. Mais parfois, $\bigoplus_{d \in \Z} \Gamma(\P^n, \cM \otimes \cO(d))$ n'est pas de type fini, et il se peut qu'un module gradué de type fini vérifiant $\widetilde M = \cM$ fasse l'affaire (sic). Ou parfois, on part d'un $M$ de type fini vérifiant $\widetilde M = \cM$ et on l'améliore en le saturant ``un peu''.

J'ai bien conscience que ce point C. est complètement obscur mais tant que l'on ne traite pas des exemples, on ne peut peut-être pas comprendre. Déjà, avec le fibré tangent à $\P^n$, il y a un piège pour $n = 1$ qui n'existait pas pour le fibré cotangent. Si on prenait comme exemple une hypersurface, cela serait encore plus probant et on comprendrait peut-être mieux ce que j'essaie de raconter naïvement.

Mais tu as raison, mollo sur les exemples.

$\blacktriangleright$ D. Oui, le $K$ dont tu parles comme noyau de $\partial_1 : K_1 \to K_0$ c'est pareil que mon $M$ que j'ai pris sous forme de l'image de $\partial_2$. Et tu as raison, le considérer comme noyau fait que c'est facile de montrer que $\Gr(\ux ; \ker\partial_1) \ge 2$. Pas besoin de Auslander-Buschbaum-Hochster. Donc ici, j'ai été à côté de mes pompes. Mais montrer $\ker \partial_1 = \text{Im} \partial_2$ prouve que ce noyau est de type fini, ce qui est une bonne chose (faisceau cohérent). Il me semble que tu as dû en parler dans un autre post.

Du coup, histoire de m'excuser, je montre $\Gr(\ux ; \ker\partial_1) \ge 2$. Soient des $m_i \in \ker\partial_1 \subset K_1$ vérifiant $x_i m_j = x_j m_i$. On voit les $m_i \in K_1$ qui est un libre donc $\Gr(\ux ; K_1) \ge n+1 \ge 2$. Donc, il existe $m \in K_1$ tel que $m_i = x_i m$. En donnant un coup de $\partial_1$ et en utilisant que l'on tombe dans un libre, on obtient $m \in \ker \partial_1$.

C'est probablement à cela que tu pensais ? Ou à d'autre chose plus ``géométrique''.

$\bullet$ 6 La ``bonitude'' : j'ai essayé de raconter dans le point C. qui peut sembler fumeux.

Cadeau (?) : Some elementary proofs of basic theorems in the cohomolgy of quasi-coherent sheaves de Kempf https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rmjm/1250128841

$\def\C{\mathcal C}\def\A{\mathcal A}\def\ut{\underline t}\def\Gr{\text{Gr}}$Chat--Maths,

J'attache 2 extraits de FAC (1955). Le premier provient de la version anglaise https://achinger.impan.pl/fac/fac.pdf (typographie parfois plus agréable), le second de https://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL5435398796951750634_Serre_FAC.pdf ou de https://www.jstor.org/stable/1969915. FAC est divisé en 81 petites sections numérotées de 1 à 81. TOUT y est défini de A à Z, de manière un peu près self-contained, avec quand même parfois des références extérieures (par exemple Eilenberg & Steenrod, Foundations of Algebraic Toplogy). La version française fait un peu près 80 pages et la version anglaise 100 pages.

$\bullet$ Je commente le premier extrait (le début de 67, chapitre III) et je précise les notations. $S = K[t_0, \cdots, t_r]$ où $K$ est un corps. Le $\A(M)$ de Serre, c'est ce que l'on note maintenant $\widetilde M$. La condition $(TF)$ pour un $S$-module gradué $M$ signifie qu'il existe $d_0$ tel que $\bigoplus_{d\ge d_0} M_d$ soit un $S$-module (gradué) de type fini. $\C$ est la catégorie des $S$-modules gradués $M$ tels que $M_d = 0$ pour $d \gg 0$. Et enfin, $\alpha$ $\C$-bijective signifie que le noyau et le conoyau de $\alpha$ sont dans $\C$. Je crois que je n'ai rien oublié concernant les notations : on voit la définition de $M^\#$.

Juste pour te dire que la proposition 9, c'est de quoi on cause depuis un petit moment : $\alpha$ est bijective si et seulement si $\Gr(\ut ; M) \ge 2$. C'est tout.

$\bullet$ Un tout petit bout de l'introduction de FAC. J'ai encadré quelque chose qui est important pour moi (mais pas pour tout le monde, je m'en doute).

$\def\CC{\check{C}}\def\U{\mathfrak U}\def\ua{\underline a}\def\uX{\underline X}\def\Gr{\text{Gr}}\def\P{\mathbb P}$NoName (et Mauricio). Faut que je réponde, par politesse puisque Noname dit ``cela n'a pas l'air d'intéresser Claude''. Ca fait le gars (mézigue) qui demande un renseignement et puis qui ne s'intéresse plus au truc.

Et bien détrompe toi : j'ai vu ton post sur les suites spectrales et je vais raconter ce qui m'est passé par la tête.

1. Je me suis dit que ce n'était pas la peine de demander de quoi il était question car j'avais des doutes que vous vous mettiez à ma portée (ne pas oublier mon ignorance en géométrie). J'ai donc fermé ma gu.ul.

2. Ensuite, je me suis dit que l'histoire de la suite spectrale était peut-être liée au bicomplexe Koszul-Cech. Je parle du complexe de Cech de la cohomologie locale, celui qui est augmenté.

De manière précise si $\ua = (a_1, \cdots, a_n)$ est une suite de scalaires et $M$ un $A$-module, il y a le complexe de Cech augmenté, que nous autres notons $\CC^\bullet(\ua ; M)$, qui démarre à $M$ (augmenté, vachement important). C'est un complexe de modules plats de même longueur que son cousin Koszul montant $K^\bullet(\ua ; M)$, qui lui est un complexe de modules libres.

Et ces deux complexes mesurent la même chose au sens où la nullité des $k$ premiers groupes de cohomologie de l'un, c'est pareil que l'autre. Pardi, cela mesure la profondeur de $\ua$ sur $M$ : $\Gr(\ua ; M) \ge k$.

Il y a 36 façons de montrer ce résultat. Et justement un argument utilise un bicomplexe et sa suite spectrale, cf la section 4 du chapitre IV in http://claire.tete.free.fr/THESE/LaTotale.pdf

3. Mais j'ai continué à fermer ma gu.ul. car le complexe de Cech en question est algébrique. Je n'allais pas encore demander ``est ce que cela a un rapport avec un machin algébrique que je connais'' (et que tout algébriste doit connaître). Bien sûr, il y a une interprétation faisceautique, à savoir la cohomologie à supports dans $V(\ua)$, cf les exercices ad-hoc de Hartshorne.

En projectif, avec la suite $\uX = (X_0, \cdots, X_n)$ et le recouvrement $\U$ de $\P^n$, il ne faut pas confondre le complexe de cohomologie locale (au milieu ci-dessous) avec le complexe de Zariski (terminologie de Eisenbud) qui est au début. Faire gaffe au twist $[-1]$, ce qui va décaler les $i$ d'une unité dans les $H^i$. Ci dessous, $M$ est un $S$-module gradué avec $S = k[X_0, \cdots, X_n]$
$$
0 \to \bigoplus_{d \in \Z} \CC^{\bullet}\big(\U ; \widetilde M(d)\bigl)[-1] \quad \to\quad \CC^{\bullet}(\uX ; M) \quad \to\quad M \quad\to 0
$$Le complexe à gauche, au début, est en fait celui utilisé par Serre dans FAC.

Première vue rapide (Local cohomology, Cech cohomology, Sheaf cohomology), Appendice d'Eisenbud (Geometry of Syzygies). C'est une version preprint qui n'est pas à jour car le livre a été publié https://www.msri.org/people/staff/de/ready.pdf

Il y a aussi le livre ``24 h of Local Cohomology''.