matrice de rang r, variété de codimension (n-r)(p-r)

demon witch · October 2005

bonjour à tous

je dois montrer que l'ensemble E des matrices à n lignes p colonnes de rang r (ou r < inf(n,p)) est une sous-variété de $M_{n,p}(\R)$ de codimension (n-r)(p-r)=k (le k est juste la pour éviter de réécrire 50 fois (n-r)(p-r)).

pour cela j'essaie de "trouver" k fonctions $f_i$ de $M_{n,p}(\R)$ dans $\R$ telles que les formes linéaires $f'_i$ soient indépendantes et E soit l'intersection des k hyper-surfaces $f_i^{-1}(\{0\})$.

je suppose n

Mauricio4 · October 2005

Ce que tu dis est un idee exotique disons ce n'est pas la methode habituelle.
(C'est un exo classique qui conduit la formule des corangs de Thom.)
Remarque d'abord que tu peux toujours calculer la dimension en la matrice qui est diagonales avec des zeros ou des 1 car toute matrice de rang r est semblable a une telle matrice.
Ensuite il faut choisir le nombre minimal de mineur de ta matrice. Generalement on prend les determinants "bordants". Ces mineur bordants sont donnes exactement par le nombre de conditions que tu ecris et tu verifie sans difficulte que leurs differentielles sont independantes.
Enfin un conseil commence par les matrices 2x2 et les matrices 3x3.
Mauricio

pandaren brewmaster · October 2005

Merci beaucoup Mauricio

Je viens de lire ta réponse un peu vite fait (car j’ai cours dans moins d'une demi-heure)...

Je regarderai ça attentivement... cet après-midi

t-mouss

Patrick7 · October 2005

Bonjour
Mauricio confond semblables et équivalentes.
Lapsus sans doute !

Mauricio4 · October 2005

Je ne sais pas, j'oublie toujours les conventions, je veux dire
1. qu'il existe $P$ et $Q$
tels que $PAQ=I_r$ ou $I_r$ est de rang $r$ diagonales avec des $1$ et des $0$.
2. que la dimension de ta variete en $I_r$ et en $A$ est evidemment la meme (ce n'est qu'un changement de coordonnees locales sur ta variete).
Enfin en desespoir de cause cf. Arnold, Varchenko, Goussein-Zade singularites des applications diifferentiables vol1 chap1 a la section formule des corangs.
Mauricio.

Patrick7 · October 2005

Re

Oui, c'est exactement ce que je disais ;-))
Semblables, ce serait: $PAP^{-1}=I_r$

pandaren brewmaster · October 2005

ok mauricio... merci

cela dit qqchose me choque. En effet tu regardes la dimension de la variété en une matrice carrée rxr qui n'est donc pas dans $M_{n,p}$ à moins que tu ne sous-entende le plongement qui consiste à compléter par des 0.

admettons qu'il s'agisse de cela. Alors ok j'avais pensé à qqchose comme ça mais sans etre sur que le changement de coordonnées locales était admissible.

et enfin pour l'histoire des mineurs je ne suis pas trop sur d'avoir compris...

je ne vois pas en fait ce que tu appels mineur bordant, ni pourquoi on ne s'intéresse qu'à ceux-là...

désolé d'insister mais je commence à mieux comprendre et j'aimerais vraiment dominer cette question d'apparences faciles (sauf pour un néophyte comme moi)

amicalement

t-mouss

LIAUTARD1 · October 2005

Bonjour

Soit N une matrice de rang r il existe une sous matrice N' carrée à r lignes et colonnes telle que detN' ne soit pas nul.
On ne restreint pas la généralité en supposant N' placée comme suit
N=N'...
.....

Par continuité il exista un voisinage V de N dans Mnp tel que pour tout M de V detM' soit non nul M' construit comme N
Donc V contient des matrices de rang au moins égal à r
reste à précisser celles qui sont de rang r

On va utiliser les matrices bordantes de M'une telle matrice Bij est dela forme

M'C
L A

Donc carrée r+1 lignes et colonnes ou
C est formé des r premiers éléments de la colonne Ci de M avec i>r

L est la ligne formée avec les r premiers éléments de la ligne Lj, j>r.

A est le jeme élément de Ci

Dire que les matices Bij ,i fixé et j variant de r+1 à n s'il y a n lignes dans M
sont de rang r revient à dire que Ci est une combinaison linéaire des r premières colonnes de M

Donc M est de rang r équivaut à les Bij sont de rang r donc det Bij=0
d'ou (n-r)(p-r) relations.

Reste à vérifier que des différentielles sont indépendantes ce qui résulte du fait que l'élément A d'un Bpq ne figure pas dans les Bij de p distinct de i et j de q

Cordialement

Mauricio4 · October 2005

t-mouss: oublie les matrices pense operateurs. Tu veux calculer la dimension des operateurs de rang r.
Soit u un operateur de rang r. Tu peux toujours trouver des corrdonnees dans l'espace des operateurs de telle sorte que ton operateur soit la matrice identite de R^r que tu completes par des zeros.
On va montrer que la variete est lisse et du coup sa dimension est la dimension de l'espace tangent.
Fait u+tv ou t est un nombre dual comme on dit en geometrie algebrique i.e. t^2=0 et v est arbitraire.
Tu veux savoir a quelle condition u+tv est de rang r.
Pour cela il faut qu'il y ait un mineur de rang r.
Probleme: il y a des relations non triviales entre les mineurs rxr.
Question : est ce que l'on peut choisir des mineurs qui ne satisfont aucune relation non triviale?
Reponse: Oui, on les appelle les mineurs bordants, tu trouves leur definition dans n'importe quel bouquin d'algebre et a defaut tu traites 2 ou 3 exemples et tu les trouves sans difficulte.
D'ailleurs si tu avais commence par la, je suis sur que tu aurais trouve tout seul.
Mauricio.

noob attitude · October 2005

Ok c’est bon je crois que j'ai compris... Merci Liautard pour avoir suffisamment détaillé.

En fait j'avais du mal à formaliser cette idée, notamment le fait de choisir M' puis de compléter (je ne connaissais pas les déterminants bordant). Maintenant c’est bon...

Pour Mauricio je vais regarder la version "opérateurs et espace tangent" dès que j'aurais bien assimilé la partie du cours sur les espaces tangents... Mais déjà ça me permet de mieux voir ce qui ce passe...

Merci encore à vous deux.

t-mouss

archimède0 · October 2005

Notons que l'ensemble E est une "sous-variété" de $ M_{n,p}(\mathbb{R})$ dans un sens un peu spécial car $E$ n'est pas un fermé en général, alors que d'habitude on suppose que les sous-variétés sont des fermés.

YB0 · October 2005

Une méthode élémentaire.

On remarque que $M_{n,p}^{< r+1}$ formé des matrices de rang $

daren aronofsky · October 2005

je ne vois pas pkoi une variété est fermée en générale...

d'ailleurs les cas les plus simple de variétés sont en général des ouverts de $\R^n$....

de toute façon une variété peut-être totalement abstraite puisque juste définie localement... donc fermée, ouverte, les 2 ou aucun des 2....

pour YB sauf erreur de ma part $M_{n,p}^{

Mauricio4 · October 2005

YB: j'ai rien compris. Dans ta notation codim M_r^{n,p}=???
Explicite si c'est possible.(si il y un truc plus simple que le truc habituel j'aimerais bien le connaitre)
Mauricio

archimède0 · October 2005

On impose en général à une sous-variété d'être fermée ; de cette façon la spirale d'Archimède n'est pas une sous-variété de $\R^2$.

Mauricio4 · October 2005

et un ouvert de R^2 n'est pas une variete non plus? les varietes de Stein ne sont plus des varietes etc.
Mauricio.

matrice de rang r, variété de codimension (n-r)(p-r)

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion