Action proprement discontinue

Bonsoir tout le monde.

J'utilise la définition suivante : une action continue d'un groupe discret $G$ sur un espace localement compact $X$ est proprement discontinue si pour tout compact $K\subset X$, l'ensemble $\{g\in G\mid g(K)\cap K\neq \varnothing\}$ est fini. Je prends maintenant $G=\omega_1\Z + \omega_2\Z$ le sous-groupe de $(\C,+)$ engendré par $\omega_1$ et $\omega_2$ (ils sont supposés tous les deux non nuls).

Je voudrais montrer le résultat suivant : l'action de $G$ sur $\C$ est proprement discontinue si et seulement si $\frac{\omega_1}{\omega_2}\notin \R$.

Je vous avoue que je ne sais pas trop comment partir, je n'arrive pas à rédiger une preuve propre (sans jeu de mot). Quelqu'un saurait-il m'aider ? Merci.

Réponses

  • Déjà, est-ce que tu vois que tu peux te ramener au cas $\omega_1 = 1, \omega_2 = \alpha$ ? ça va revenir dans ce cas à prouver que c'est si et seulement si $\alpha \notin \R$.

    Bon de fait, c'est évidemment faux: prendre $\omega_1 = 1, \omega_2 = 2$, alors le groupe obtenu est $\Z$, et l'action de $\Z$ est bel et bien proprement discontinue. Mais regardons tout de même.

    Si $\alpha \in\R$, tu connais certainement la forme des sous-groupes de $\R$, n'est-ce pas ? (sinon il faudra traiter ça d'abord) Tu peux alors certainement en déduire que l'action n'est pas proprement discontinue sous certaines hypothèses additionnelles sur $\alpha$.

    Si $\alpha \notin \R$, tu peux essayer de montrer dans un premier temps que $\Z + \alpha \Z$ est discret en tant que sous-espace de $\C$. Il faudra ("bien entendu") pour cela utiliser la partie imaginaire de $\alpha$. Une fois qu'on a ça, ça devrait être relativement accessible .
  • Bonsoir, voir par exemple Shimura: Introduction to the arithmetic theory of modular forms chez Princeton (1971) ou bien le bouquin de Miyake sur les formes modulaires ou bien Lehner: Discontinuous groups and automorphic functions ou bien du même auteur: A short course in automorphic functions ou bien Modular forms de Henri Cohen (AMS) 2017.
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  • En fait, la notion de réseau peut être utile et surtout un petit dessin comme il s'agit de la topologie de $\mathbb{C}$ avec des boules bien rondes comme ouverts élémentaires. Il faudrait comprendre géométriquement (cela se faisait en terminale scientifique autrefois) ce que signifie pour $z_1$ et $z_2$ le fait que $\dfrac{z_2}{z_1}$ est réel en considérant le module et l'argument...
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  • Bonsoir, merci Maxtimax pour les conseils, je suivre ce que tu as dit. Et merci Gilles pour les références, j'irai jeter un oeil.
  • Pour la première partie déjà. Soient $\omega_1,\omega_2\in \C^*$, $\alpha:=\frac{\omega_2}{\omega_1}$, $G:=\omega_1\Z + \omega_2 \Z$ et $\Gamma:=\Z+\alpha \Z$. Montrons que $\Gamma$ n'agit pas proprement discontinuement sur $\C$ si et seulement si $G$ n'agit pas proprement discontinuement sur $\C$.

    L'application $f:z\in \C \mapsto \omega_1 z$ est un homéomorphisme de $\C$ donc envoie les compacts sur des compacts. Par ailleurs, $f$ induit une bijection de $\Gamma$ sur $G$ (et donc une bijection de toute partie $A\subset \Gamma$ dans $f(A)\subset G$). Supposons qu'il existe $K$ compact de $\C$ et $A\subset \Gamma$ infini tel que pour tout $\gamma \in A$, $\gamma(K)\cap K\neq \varnothing$. En vertu de ce que l'on a dit plus haut, $f(A)$ est une partie infinie de $G$. Définissons $K':=\omega_1 K$ qui est un compact de $\C$. Soit $g\in f(A)$. Il existe un unique $\gamma \in A$ tel que $g=f(\gamma)$. Par hypothèse, il existe $z\in K$ tel que $\gamma(z)\in K$. Soit $z':=\omega_1 z\in K'$. Alors $g(z')=\omega_1\gamma(z)\in K'$. Donc pour tout $g\in f(A)$, $g(K')\cap K'\neq \varnothing$. Donc $G$ n'agit pas proprement discontinuement sur $\C$. On montre le sens inverse en passant de $G$ à $\Gamma$ à l'aide de $f^{-1}$, cela permet de se ramener au cas où le réseau est de la forme $\Z+\alpha \Z$, $\alpha\in C^*$.

    Ensuite oui tu as bien raison, il existe des $\alpha\in \R$ tels que $\Gamma:=\Z+\alpha \Z$ agisse sur $\C$ proprement discontinuement... cf ton exemple. En revanche, si $\alpha$ est irrationnel, $\Gamma$ est dense dans $\R$ et on voit que $\Gamma$ n'agit pas proprement discontinuement sur $\C$. En effet, pour tout $n\geq 1$, il existe $\gamma_n\in \Gamma$ tel que $\gamma_n\in ]-\frac{1}{n};\frac{1}{n}[$. Donc le segment $[-1;1]$ qui est compact dans $\C$ vérifie $\gamma([-1;1])\cap [-1;1]\neq \varnothing$ pour une infinité de $\gamma \in \Gamma$.

    Ensuite, si $\alpha\notin \R$ alors $(1,\alpha)$ est une $\R$-base de $\C$ donc l'application $a+\alpha b\in \C \mapsto a+ib$ est un homéomorphisme $\R$-linéaire de $\C$ qui réalise un homéomorphisme entre $\Gamma$ et $\Z+i\Z$. Pour montrer que $\Gamma$ est discret, il suffit donc de montrer que $\Z+i\Z$ est discret. Or si $z\in \Z+i\Z$, la boule ouverte $B(z,\frac{1}{2})$ rencontre $\Z+i\Z$ en $z$ uniquement. Donc $\Z+i\Z$ est discret.

    Reste enfin à montrer que si $\alpha \notin \R$ alors $\Gamma$ agit sur $\C$ proprement discontinuement... la suite demain :-D
  • Tu peux utiliser ton dernier paragraphe pour te ramener à $\alpha = i$, c'est peut-être plus simple psychologiquement (mais ne change rien aux maths)
  • J'avoue que je n'arrive pas trop à avancer. Si $K$ est un compact de $\C$, j'arrive à montrer que pour tout $z\in K$, $\{\gamma\in \Gamma, \gamma(z)\in K \}$ est fini mais je ne pense pas que ce soit suffisant pour conclure.
  • Disons que $\alpha = i$ - soit $x = \sup\{|b| \mid \exists z \in K, Im(z) = b \lor Re(z) = b\}$. Soit $N$ tel que $|N| >> x$ (il suffit de $\geq |x|+1$ ou quelque chose du genre mais flemme de voir précisément ce qu'il faut :-D) et $n$ quelconque. Alors $(n+i2N) + K$ peut-il intersecter $K$ ? Même question pour $(2N+in)+K$.
  • Merci pour l'idée :-D je vais essayer de rédiger à peu près proprement. On prend donc $\alpha=i$. Soit $K$ un compact de $\C$. La fonction $\Im$ est continue sur $K$ donc possède un max et un min. Je note $L:=max_{z\in K}(\Im(z))$ et $l:=min_{z\in K}(\Im(z))$.

    On pose $N_1:=\lfloor L-l \rfloor +1$. Alors pour tout $z\in K$, $\Im(z)+N_1>l+L-l=L$. On peut aussi définir $N_2:=\lfloor l-L\rfloor -1$. Alors pour tout $z\in K$, $\Im(z)+N_2< L + l -L = l$. Cela montre que pour tout $z\in K$, si $n\notin [\![N_2,N_1]\!]$ alors $z+in\notin K$.

    On peut faire exactement le même raisonnement avec la partie réelle. Finalement, cela montre que si $\gamma = a+ib\in \Z+i\Z$ vérifie $\gamma(K)\cap K\neq \varnothing$ alors $a$ et $b$ ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs. Donc l'action est proprement discontinue.
  • Bonjour, et sinon, l'image d'un compact $K$ est compacte (par translation...) et un compact de $\mathbb{C}$ est borné (Heine-Borel) et le nombre de translations $T_g $ avec $ g \in G$ tel que $K \cap g(K) \neq \varnothing $ est forcément fini (évident) ... sinon il existe une suite $(g_n)$ d'éléments de $G$ telle que :
    $$
    \forall n \in \mathbb{N}, \ g_n(K) \cap K \neq \varnothing \; \Longleftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, \ \exists (x_n,\; y_n) \in K^2, \ y_n = g_n(x_n).

    $$ On regarde alors $d_n \; = \; |y_n - x_n|^2$ qui est une suite d'entiers qui n'est pas bornée (contradiction avec $K$ compact). Si cette suite était bornée, la suite $(y_n - x_n)$ serait bornée et admettrait un point d'accumulation ce qui est impossible ou finie.
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  • Bonjour Gilles, je pense que ce raisonnement ne fonctionne pas. Il n'y a aucune raison pour que la différence $y_n-x_n$ reste dans $K$ si $K$ est un compact quelconque.
  • senpai: ce n'est pas l'argument de Gilles. $K\times K\to \mathbb R, (x,y) \mapsto |x-y|^2$ est bel et bien bornée, puisque continue et définie sur un compact.
  • je confirme: le produit cartésien de deux compacts est compact...
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  • Ah oui en effet, j'avais mal compris l'argument!
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