$ \mathbb{C} $-algèbre de fonctions

Bonjour à tous

$ 1) $ Soit $ f \ : \ A \to B $ une bijection entre deux ensembles $ A $ et $ B $.
On suppose de plus que $ A $ est une $ \mathbb{C} $-algèbre.
Est-ce que dans ce cas là, $ B $ est aussi une $ \mathbb{C} $-algèbre, c'est-à-dire est-ce qu'on peut lui conférer une structure de $ \mathbb{C} $-algèbre, et que, $ f $ est un isomorphisme de $ \mathbb{C} $-algèbre ?

$ 2) $ Si jamais la réponse à la première question est affirmative.
Soit $ f \ : \ A \to B $ un isomorphisme de $ \mathbb{C} $-algèbres.
$ f \ : \ A \to B $ s'identifie à un isomorphisme de $ \mathbb{C} $-algèbres de fonctions analytiques, $ f \ : \ \mathcal{O}_{ X } ( U ) \to \mathcal{O}_Y ( V ) $, avec $ U $ et $ V $ deux ouverts de $ X $, et $ Y $, respectivement, qui sont deux variétés complexes.
Soit $ x \in U $.
Soit $ h = f(g) $ avec, $ g \in O_X (U) $ et $ h \in O_Y ( V ) $.
Est-ce que, au voisinage de $ x $, le développement en série entière de $ h $ s'identifie au développement en série entière de $ g $ ?
Si la réponse est non, comment exprimer le développement en série entière de $ h $ en fonction de celui de $ g $ au voisinage de $ x $ et $ f(x) $, respectivement ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Pour la première question, oui. Si on a une bijection $f:A\to B$ où $A$ est un anneau, tu définis une structure de groupe abélien sur $B$ en posant:
    1. $0_B:=f(0_A)$.
    2. $x+y:=f(f^{-1}(x)+f^{-1}(y))$
    3. $-x:=f(-f^{-1}(x))$.

    Cette structure de groupe abélien sur $B$ fait de $f$ un isomorphisme de groupes. Tu peux faire pareil pour la multiplication et vérifier que dans ce cas, $f$ est un isomorphisme d'anneaux. Et pour obtenir une structure de $\C$-algèbre sur $B$, il suffit de considérer la composition $\C\to A\to B$, ce qui fait alors de $f$ un isomorphisme de $\C$-algèbres.
  • Merci beaucoup senpai. :-)
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