Polynôme minimal

Bonjour tout le monde.

On se donne $\zeta\in \Q$ une racine primitive 5-ième de l'unité. Son polynôme minimal sur $\Q$ est le polynôme cyclotomique $P=1+X+X^2+X^3+X^4$. Quelqu'un pourrait-il me guider pour déterminer le polynôme minimal de $1+\zeta+\zeta^2$ sur $\Q$ ? Je sais que le polynôme minimal de $\zeta^2$ est aussi $P$ et que celui de $1+\zeta$ est $P(X-1)$. En revanche je ne sais pas utiliser ces informations à partir d'ici, calculer un résultant ? Ou peut-être que l'on peut bidouiller pour trouver une dépendance $\Q$-linéaire des puissances de $1+\zeta+\zeta^2\ ?$
Merci !

Réponses

  • Bonjour,

    Soit $x=1+\zeta+ \zeta^2=(1+2\cos(\frac{2\pi}{5}))\zeta$, et soit $\sigma_i$ le morphisme qui envoie $\zeta$ sur $\zeta^i$, pour $i=1,2,3,4$. $\sigma_1$ est l'identité. Tu peux calculer $\sigma_1(x)=x, \sigma_2(x), \sigma_3(x)$ et $\sigma_4(x)$. Ils sont distincts, donc le polynôme minimal de $x$ est de degré $4$.
  • Bonjour,
    Je réponds à la question. Comment calculer le polynôme minimal $P_a$ de $a =1+\zeta+\zeta^2,$ dont Marco a justifié qu'il était de degré $4$ .
    Il existe bien entendu plusieurs manières de procéder. Celle qui suit me paraît être la plus avare de calculs.

    L'application $f_a:\:\:\Q(\zeta) \to \Q(\zeta) ,\quad x\mapsto ax \:$ est $\:\Q$- linéaire. Son polynôme minimal est aussi celui de $a$.
    En choisissant la $\Q$-base $\mathcal B=(1,\zeta,\zeta^2, \zeta^3)$ de $\Q(\zeta) $.
    $$P_a (X) = \det (X \text I_4- M)\:\:\text{où}\:\: M =\text{Mat}_{\mathcal B} (f_a)=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\1&1&-1&-1 \\1&1&0&-1\\0&1&0&0 \end{pmatrix}.\:\:\:\boxed{P_a(X)=X^4-2X^3+4X^2-3X+1.}$$
    Dans tous les cas: Si $\mathbb K$ est une extension finie de $\Q$ , alors: $\:\:\forall a \in \mathbb K, \:\:\:\:\chi (f_a) =P_a^k \:\:\text{avec} \:\: k= \dfrac{[\mathbb K: \Q]}{[\Q(a):\Q]}.\:\:$ Ici $k=1.$
  • Merci à vous deux. La méthode de LOU marche très bien mais devient vite compliquée lorsqu'on augmente le degré de l'extension j'imagine... J'ai quelques lacunes en théorie de Galois, quel est la théorie derrière l'affirmation de Marco ?
  • La méthode devient calculatoire, mais pas compliquée. Il existe des logiciels qui feront les calculs sans aucune difficulté.
  • Et sinon pour faire plus lourd, on peut considérer à partir de $\alpha$ et $\beta$ deux entiers algébriques et leurs conjugués $(\alpha _i) ,$ pour $1 \leq i \leq n$ et $(\beta _j ) ,$ pour $ 1 \leq j \leq m$, le polynôme annulateur de $\alpha + \beta$ :
    $$
    P(X) \; = \; \prod_{i=1}^n \; \prod_{j=1}^m (X - \alpha_i - \beta_j) ,

    $$ ce qui donne un polynôme de degré 16 dans ce cas qu'il faut factoriser...
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Si $p$ est premier, $1+X+\ldots+X^{p-1}$ est irréductible sur $\Q$ (je ne sais plus comment on le montre), et ses racines sont $\zeta,\zeta^2, \dots, \zeta^{p-1}$ où $\zeta=e^{\frac{2i \pi}{p}}$.
    Si $P$ est un polynôme irréductible sur $\Q$ de degré $n$, de racines $\alpha_1, \dots, \alpha_n$, alors il existe un morphisme qui envoie $\alpha_1$ sur $\alpha_k$ pour tout $k=1,\dots,n$.
    Ici, $n=p-1$ et $\alpha_k=\zeta^k$, pour $k=1,\dots, p-1$.
    Si $x$ a pour polynôme minimal $R$ et si $x$ a $n$ conjugués différents $\sigma_1(x)=x, \sigma_2(x), \dots, \sigma_n(x)$, alors tous les conjugués sont des racines de $R$, donc $R$ est de degré au moins $n$.
  • Gilles Benson, oui c'est ce que je pensais faire au début mais la borne sur le degré du polynôme minimal m'a découragée... Merci Marco pour la précision! D'ailleurs, pour montrer que $1+X+...+X^{p-1}$ est irréductible sur $\Q$ quand $p$ est premier, tu peux translater ton polynôme par 1 et utiliser le critère d'Eisenstein avec $p$, ce qui montre l'irréductibilité de ton polynôme sur $\Z$ et donc sur $\Q$.
  • Une méthode rustique qui je pense doit fonctionner:

    On calcule $1+x+x^2,(1+x+x^2)^2,(1+x+x^2)^3,(1+x+x^2)^4,(1+x+x^2)^5$ et on quotiente les résultats par $x^5-1$.
    et après on essaie de trouver la bonne combinaison linéaire, en résolvant un système linéaire homogène à cinq inconnues.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.