Récurrence

C'est correct pour la décroissance.

Comment sais-tu que la suite est minorée ? Par quel nombre la minores-tu ?

Je ne sais pas, je n'ai pas l'énoncé !
Par ailleurs, est-ce admis par l'énoncé ? ou bien l'as-tu démontré auparavant ?
Peut-on minorer par quelque chose de plus évident ?

Le fait que $U_0=2$ ne nous apprend rien sur le fait que la suite soit minorée par $2$ ou non.

Il faut trouver une valeur $m$ telle que $\forall n\in\N, U_n\geq m$.
Quelle valeur $m$ relativement évidente pourrais-tu choisir ?

Il faut trouver $m$ tel que pour tout $n$, $U_n \geq m$, donc $m$ ne peut pas dépendre de $n$, il est fixé avant.
Toi tu as dit l'nverse, pour tout $n$, il existe $m$ ($=3.75 \times 0.5^n$) tel que $U_n \geq m$.

Cela n'a strictement rien à voir. Minorer une suite, c'est minorer tous les termes par le même nombre ! Parce qu'évidemment, pour toute suite $(u_n)_n$, on a pour tout $n$ : $u_n \leq u_n$, ce n'est pas très intéressant ...

Pour tout $n$, on a $U_n \geq 3,75 \times 0,5^n$. C'est une minoration qui dépend de $n$. C'est compliqué d'en obtenir une minoration qui ne dépend pas de $n$ ?

Dit autrement, est-ce que c'est compliqué de minorer $3,75 \times 0,5^n$ indépendamment de $n$ ?

Dit autrement, est-ce que tu peux pas trouver un nombre $m$ tel que pour tout $n$, $3,75 \times 0,5^n \geq m$.

$m = 1$ ça marche ou pas ? $m = 0$ ça marche ou pas ? $m = -14644 \times \pi / \sqrt 2$ ça marche ou pas ?

Rappel : il suffit d'en trouver un seul qui marche (on ne demande pas le plus grand minorant, juste d'en trouver un pour dire que la suite est bien minorée), mais qui ne doit surtout pas dépendre de $n$ bien sûr !

Ah bon ? Et pourquoi remplacer $n$ par $1$ donnerait un minorant ? Tu l'as prouvé ? Cela donnerait un majorant car la suite est décroissante (et encore, un majorant uniquement à partir de $n=1$), mais c'est pas du tout ce qu'on veut.

La preuve, $U_2 = 1,13$, tu as l'impression que c'est plus grand que $1,875$ ?

Tu ne fais plus du tout de mathématiques là, tu balances des trucs au hasard sans rien démontrer en jouant aux devinettes. Quand bien même ce serait juste, tu n'aurais aucune idée du pourquoi car tu ne comprends plus ce que tu es en train de faire.

Et au passage mes questions sur les minorants possibles $m$ étaient bien plus simples que ce que tu essayes de faire, et aboutissaient à la réponse juste ! Pourtant tu n'as pas cherché à y répondre.

Cela marche si tu appliques les règles mathématiques que tu connais. Là comme tu inventes des règles, bah évidemment ça ne marche pas.

Quelle règle mathématique te permet de dire que comme le carré d'un nombre est positif, alors $3,75 \times 0,5^n \geq 3,75$ ? Peux-tu me montrer le raisonnement complet que tu fais ? Ou alors tu te rends compte que tu n'as rien démontré et que tu viens d'inventer des règles fausses ?

On fait des maths, pas de la philo, affirmer des trucs sans les démontrer ça aboutit une fois sur deux à des trucs faux.

Déjà pour $n = 1$, c'est faux, car $1,875$ n'est pas plus grand que $3,75$ ... En fait c'est faux pour tout $n \geq 1$, c'est dire à quel point c'est faux, ce que tu aurais pu vérifier de tête (comment veux-tu que $3,75 /2 \geq 3,75$ ?).

Et on a vu que $U_2 = 1,13$ précédemment, comment veux-tu qu'un minorant, qui par définition est plus petit que tous les termes de la suite, soit plus grand que $U_2$ ?

Là il faut que tu prennes une pause, ça fait deux messages de suite où tu inventes des règles délirantes sans rien démontrer, on va pas faire le tour de toutes les affirmations que tu peux faire au hasard sans les démontrer. On fait pas un jeu où le but est de deviner la bonne réponse.

Et bien sûr tu n'as toujours pas répondu à mes questions sur minorants $m$ qui peuvent ou non marcher. Pourtant on y trouve au moins un minorant qui marche.

Est-ce que $3,75 \times 0,5^n$ peut être négatif ?

Bon, et bien il aura fallu attendre 40 messages pour que tu répondes à ma question qui attend depuis deux heures ?

Chalk a écrit:

Dit autrement, est-ce que tu peux pas trouver un nombre $m$ tel que pour tout $n$, $3,75 \times 0,5^n \geq m$.

$m = 0$ ça marche ou pas ?

Tu n'as pas l'impression que donc $0$ est un minorant évident de $3,75 \times 0,5^n $, minorant qui ne dépend pas de $n$, et comme $U_n \geq 3,75 \times 0,5^n $, on a bien $U_n \geq 0$ pour tout $n$, non ?

Bon, là j'abandonne X:-(

Je termine tout de même là-dessus.

$m=0$ marche bien évidemment, tu viens de dire juste avant que justement $3,75\times 0,5^n$ est positif, ça veut dire $\geq 0$.
A fortiori, tout nombre plus petit que $0$ est aussi un minorant, donc tout nombre négatif est effectivement un minorant.

On n'a jamais dit que le minorant de $3,75\times 0,5^n$ est obligatoirement négatif. Il s'avère que c'est vrai (j'ai dit négatif, pas strictement négatif), mais on ne l'a pas prouvé. Par ailleurs ça n'a aucune importance, on minore $3,75\times 0,5^n$ pour minorer $U_n$, car un minorant de $3,75\times 0,5^n$ est forcément un minorant de $U_n$ (mais on n'a pas démontré la réciproque).

Bref, il fallait pas 40 messages pour dire que pour tout $n$ on a $ 3,75\times 0,5^n \geq 0$ et donc $U_n \geq 0$. La suite $U_n$ étant décroissante et minorée, elle converge.