Espérance conditionnelle totale conditionnée

Bonjour,
Ton égalité est vraie lorsque $B$ et les $A_i$ sont de probas non nulles et $B=\bigsqcup_i A_i$ à un ensemble négligeable près.
Pour le montrer, on peut utiliser la définition de l'espérance conditionnée par un évènement $\Bbb E(X\mid A):=\dfrac{\Bbb E(X\cdot{\bf 1}_A)}{\Bbb P(A)}$, la définition d'une proba conditionnelle et le fait que ${\bf 1}_B = \sum_i {\bf 1}_{A_i}$ p.s..
Autre possibilité de preuve : en notant $(\Omega,\Bbb P)$ l'espace probabilisé d'origine et $\Bbb P_B$ la mesure de proba conditionnelle à $B$, on a $\Bbb E_{(\Omega,\Bbb P)}(X\mid A) = \Bbb E_{(B,\Bbb P_B)}(X_{|B}\mid A)$ pour tout évènement $A\subset B$, donc il suffit d'appliquer la formule de l'espérance totale classique sur l'espace $(B,\Bbb P_B)$.

En revanche, si l'hypothèse $B=\bigsqcup_i A_i$ à un négligeable près n'est pas vérifiée, ton égalité n'a aucune raison d'être vraie, et elle ne l'est pas en général.