Rayon de convergence

kirou
kirou
dans Analyse
Bonjour
S'il vous plaît comment trouver le rayon de convergence de cette série
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \Big(1+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1n\Big) z^n,

$$ où z est un nombre complexe.
Merci.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    La somme des inverses des $n$ premiers entiers est équivalente à $\log(n)$ (pourquoi ?).

    $\log(n) z ^n$ converge vers $0$ pour $|z| < 1$ (pourquoi ?), donc en particulier est bornée, et diverge en $z = 1$.

    Donc le rayon de convergence est $1$ (pourquoi ?).
  • kirou
    kirou
    Je n'ai pas d'idées pour l'équivalence avec log(n).
    Pouvez-vous m'expliquer s'il vous plaît ?
  • Chalk
    Chalk
    C'est un résultat classique. Tu peux l'obtenir par comparaison série intégrale.

    Sinon, tu peux aussi le faire dans l'autre sens. $\log(N+1) = \sum_{n=1}^N \log(n+1) - \log(n) = \sum_{n=1}^N \log(1+\dfrac{1}{n})$.

    Or $\log(1+\dfrac{1}{n}) \sim \dfrac{1}{n}$, et deux séries divergentes à termes positifs équivalents ont leurs sommes partielles qui sont équivalentes (pourquoi ? :-D).
  • Math Coss
    Math Coss
    Pas besoin d'être si précis. Il suffit de constater que \[1\le1+\frac12+\cdots+\frac1n\le n,\] vu que les séries $\sum z^n$ et $\sum nz^n$ ont le même rayon de convergence.
  • Chalk
    Chalk
    Je m'en doutais qu'il y avait plus simple mais par fainéantise je n'ai pas cherché, bien joué math coss (:D
  • kirou
    kirou
    Merci pour les explications

    On me demande de chercher deux séries entières qui leurs produit donne la somme de ma question initiale

    comment faire ?

    Merci
  • Chalk
    Chalk
    Produit de Cauchy ?
  • kirou
    kirou
    Je ne comprends pas comment trouver ça ?
  • Dom
    Dom
    Et si on prend la série entière $z\mapsto 1$ pour l’une ? :-D
  • kirou
    kirou
    c'est à dire prendre $a_n=\sum_{n=1}^{\infty} 1+\frac12+\ldots+\frac1n$
  • Chalk
    Chalk
    La réponse de Dom est plus simple et juste aussi, en tout cas pas fausse :-D. Pour le produit de Cauchy tu as cherché sur Google ? https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_Cauchy#Produit_de_Cauchy_de_séries_entières
  • Math Coss
    Math Coss
    Je suppose que juste après, on constate que les deux séries sont très simples et qu'on peut les calculer : dans ce cas, cette réponse filoute n'aide pas.
  • kirou
    kirou
    Oui j'ai vu sur google mais je n'ai pas bien compris, je ne comprends toujours pas comment retrouver ces deux serie entière.
  • Chalk
    Chalk
    Oh bah quand même, c'est quoi le moyen le plus simple d'avoir $\sum_{k=1}^n a_k b_{n-k} = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$ (en dehors de la solution de Dom :-D) ?

    Bah c'est de faire que chaque $a_k b_{n-k} = \dfrac{1}{k}$. Et comment on obtient ça hyper facilement ?
  • kirou
    kirou
    et z on le trouve comment ?
  • Chalk
    Chalk
    Je te laisse réfléchir un peu, relire le lien que j'ai envoyé, relire ce que j'ai écrit, tu verras tout de suite ce que tu peux prendre pour $a$ et $b$, j'ai quasiment tout dit.
  • bisam
    bisam
    kirou : Si tu ne sais pas ce qu'est un produit de Cauchy, tu ne peux raisonnablement pas étudier les séries entières. Il faut apprendre son cours avant de faire les exercices, c'est aussi simple que cela !
    Ensuite, si on te donne la solution de cet exercice-là, cela ne t'aidera en rien pour les autres exercices que tu rencontreras. Donc, soit tu trouves par toi-même, soit tu ne trouves pas... mais cela m'étonnerait que l'on te donne la solution toute faite ici.
  • Dom
    Dom
    En effet ma proposition était une bêtise, on attend autre chose :-)
  • gilles benson
    gilles benson
    Bonjour, le problème pourrait être de savoir sommer certaines séries entières simples et de connaître quelques règles comme l'intégration ou la dérivation de séries entières à l'intérieur du disque de convergence ou bien encore le lien entre $a_n$ et $f(x)$ dans $f(x) \; = \; \sum_{n=0}^{+\infty} \; a_n x^n$ et aussi la formule de Leibnitz...
    Bon courage mais il ne faudrait pas laisser les autres faire ton travail.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • kirou
    kirou
    je voulais dire ou est parti z..
  • Chalk
    Chalk
    Bah tu n'a pas fait l'effort de lire le lien que j'ai donné, sinon tu ne poserais pas la question.
  • gilles benson
    gilles benson
    $x$ ou $z$; qu'est-ce que cela change?
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Chalk
    Chalk
    Ah, si c'est ça qui pose problème en effet ... On a bien le droit d'appeler la variable comme on veut.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    La série $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \Big(1+\frac12+\frac13+\ldots+\frac1n\Big) z^n$ a une forme close simple pour $-1\leq z<1$
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • gilles benson
    gilles benson
    oui mais ce n'est pas le problème de kirou
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Poirot
    Poirot
    @kirou : tu sais que le $n$-ième terme de la série produit de $\left(\sum_k a_k \right)\left(\sum_l b_l\right)$ est $c_n = \sum_{j=0}^n a_jb_{n-j}$. Prenons maintenant le produit des séries $\left(\sum_k a_k z^k \right)\left(\sum_l b_l z^l\right)$, quel est le terme devant $z^n$ ?
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