Polynômes donnés

magalii13
magalii13
dans Algèbre
Bonsoir,
Pourriez-vous m'aider sur ce type d'exercices, j'ai essayé plein de solutions, je n'y arrive pas ?
Trouver un système linéaire en les coefficients du polynôme
P(x) = a x2+b x+c , tel que :

les polynômes suivants sont solutions,
5x2+6x+6, 6x2+7x+2, 11x2+10x+14.
l'ensemble de solutions du système est aussi petit que possible.

Merci d'avance pour vos indications

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Solutions de quel problème ?
  • magalii13
    magalii13
    Je suppose solutions du polynôme P(x). Justement, je ne comprends pas le sens de la question.
    Il faut trouver un système linéaire avec a, b, c qui vérifie les conditions demandées
  • magalii13
    magalii13
    Juste avant cet exercice, j'ai eu celui-ci :
    Trouver un système linéaire en les coefficients du polynôme
    P(x) = a x2+b x+c ,
    dont les solutions donnent l'ensemble des polynômes vérifiant les conditions suivantes.

    P(0) = -7
    P(-1) = 4
    Là, c'est super simple.

    Mais ce 2nd exercice ????
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Qu’appelles-tu les solutions d’un polynôme ?
  • magalii13
    magalii13
    Les solutions d'un polynôme ce sont les coordonnées qui vérifient l'équation
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Quelle équation ?
  • magalii13
    magalii13
    Celle du polynôme donné P(x) = a x2+b x+c je suppose.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ta supposition n’a aucun sens. $P(x)=a x^2+b x+c$ est la définition du polynôme $P.$

    Il te faut une équation pour avoir des solutions.

    Soit tu en trouves une en lisant l’exercice, soit tu oublies cet exercice mal posé.
  • magalii13
    magalii13
    C'est un exercice sur WIMS : http://helios.mi.parisdescartes.fr/~cabanal/WIMS/Algebre/co/poly2givenb.html

    Moi non plus, je ne comprends pas ce qui est demandé, on peut renouveler l'exercice autant de fois que l'on veut.111620
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je ne comprends pas.

    Je ne sais pas t’aider.
  • magalii13
    magalii13
    Merci Yves de m'avoir répondu en tout cas
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Il me semble qu'on peut comprendre l'énoncé ainsi:
    Trouver un exemple d'endomorphisme $f$ du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}_2[X]$ tel que $Im(f)=Vect(-3X^2+6X+4,14X+5,12X+8)$.

    Cordialement,
    Rescassol
  • Notname
    Notname
    Je crois que l'on cherche $d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6,d_7,d_8,d_9$ et $r_1,r_2,r_3$ telle que pour chacun des polynômes donnés en $a,b,c$ :
    $ad_1+bd_2+cd_3=r_1 $
    $ad_4+bd_5+cd_6=r_2$
    $ad_7+bd_8+cd_9=r_3$

    Les 3 polynômes qui doivent être solutions vous donnent un système d'équation à 9 inconnues .

    PS : correction d'erreurs
    Cordialement
    Notname
  • bisam
    bisam
    Magalii13 : Il semble que dans les deux exemples cités, les polynômes exemples forment une base de l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Par conséquent, tout système linéaire en $(a,b,c)$ qui aurait ces 3 polynômes (ou plutôt les 3 triplets de coefficients de ces polynômes) comme solution devrait avoir TOUS les triplets de $\R^3$ comme solution.
    Donc un système linéaire qui admettrait ces solutions est $0=0$.
  • magalii13
    magalii13
    Merci pour vos réponses. Tant pis, je rendrai le DM sans cette réponse à cet exercice ! J'aurai quand même une bonne note, j'ai fait tout le reste ;-) mais ça m'énerve d'être bloquée sur une question infaisable
  • bisam
    bisam
    Je ne comprends pas ta réaction : je t'ai donnée une réponse valable et même la justification qui va avec.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Bisam, as tu pensé aux systèmes avec second membre ?
    L'énoncé précise que l'ensemble des solutions doit être le plus petit possible.

    Cordialement,

    Rescassol
  • bisam
    bisam
    Ah non, effectivement, je m'étais bêtement arrêté sur le mot "linéaire".
    Dans ce cas, on doit pouvoir trouver des systèmes "affines" ayant un plan affine de solutions contenant ces 3 polynômes.
    Plus précisément, le plan d'équation $(\overrightarrow{P_1P_2}\wedge\overrightarrow{P_1P_3})\cdot \overrightarrow{P_1M}=0$ où $M$, de coordonnées $(a,b,c)$, est le point inconnu, contient les trois points $P_1,P_2,P_3$ de $\R^3$.

    Par exemple :
    • avec les 3 polynômes $P_1=-3X^2+6X+4$, $P_2=14X+5$ et $P_3=12X+8$, donnés sur l'image postée plus haut, cela donne le plan d'équation $26a-9b-6c+156=0$.
    • avec les 3 polynômes $P_1=5X^2+6X+6$, $P_2=6X^2+7X+2$ et $P_3=11X^2+10X+14$ donnés au tout début, cela donne le plan d'équation $12a-16b-c+42=0$.
  • Math Coss
    Math Coss
    J'ai eu les mêmes réactions (second membre nul et surprise que la famille donnée soit de rang trois).
  • bisam
    bisam
    Je confirme que ça marche et que c'est le résultat attendu : voir sur l'image jointe111690
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Quel devrait être l’énoncé correctement formulé ?
  • bisam
    bisam
    Il suffit d'enlever les polynômes... Ils ne servent à rien dans la présentation.
    Trouver un système linéaire en $(a,b,c)$ tel que les trois triplets $(-7,4,-4)$, $(-4,8,-6)$ et $(-2,-4,-3)$ soient solution de ce système et que l'ensemble des solutions de ce système soit aussi petit que possible.
  • magalii13
    magalii13
    bisam écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2115480,2115644#msg-2115644
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

    Oh, Bisam, je suis confuse, j'ai bien sûr pris en compte ta réponse et t'en remercie mais j'ai essayé avec ta réponse et cela m'a écrit que les conditions n'étaient pas respectées.
  • magalii13
    magalii13
    Tu as trouvé Bisam, trop fort. Maintenant faut que je comprenne comment tu as fait !
  • magalii13
    magalii13
    Ca y est, j'ai trouvé !!!! Merciiiiii beaucoup Bisam d'avoir passé du temps pour m'aider à comprendre cet énoncé et m'avoir donné la formule. Trop trop bien :-)
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