Asymptotique d'une intégrale

Gaussien
Gaussien
dans Analyse
Bonjour,

Je cherche un équivalent lorsque $x$ tend vers l'infini de $\int_1^x e^t/t$. Auriez-vous une idée?

Bonne journée!

Réponses

  • Corto
    Corto
    C'est tout simplement équivalent à sa limite puisqu'elle est finie et non nulle.

    \[
    \int_1^x e^t dt \sim_\infty \int_1^\infty e^t/t dt
    \]
  • zephir
    zephir
    Attention : le second membre est infini.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Je propose une IPP.

    PS: Corto, réveille-toi. (:P)
  • Corto
    Corto
    Aïe... j'ai confondu avec $e^{-t}$, mon premier message est évidemment faux.
  • Gaussien
    Gaussien
    Calli: ah bien sûr! Le pire est que j'avais essayé (mais j'avais oublié que je cherchais un équivalent en l'infini et pas en zéro...). Ca me dit donc que mon intégrale est en $e^x/x$ avec un terme d'erreur en grand O de $e^x/x^2$ (évidemment on peut pousser le développement si on veut).
  • rakam
    rakam
    On peut obtenir le développement asymptotique :
    $$
    \rm{e}^{-x}\int_1^x\frac{\rm{e}^t}t\rm{d}t\underset{x \to+\infty }{\quad=\quad}\sum_{1\leqslant k\leqslant n}(k-1)!\frac1{x^k}+o(x^{-n})
    $$ en utilisant une règle de l'Hôpital.

    Prendre $f(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{\rm{e}^t}t\rm{d}t-\rm{e}^xP(1/x),\;g(x)=e^xx^{-n},\;n\in\N^*$
    et chercher un polynôme $P$ tel que $\dfrac{f'}{g'}$ ait une limite égale à 1 en $+\infty$.

    Correction : la limite 1 ne donnera qu'une précision en $x^{1-n}$.
    Pour la précision $x^{-n}$ il faut chercher à obtenir une limite nulle.
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