Comment démontrer que $x^TMx=x^TM^Tx$

seb58
seb58
dans Algèbre
Bonjour tout le monde, j'ai un problème pour réaliser une démonstration pour prouver ma propriété sur les matrices. J'ai une matrice $M$ de dimensions $(q,q)$
$$
M= \begin{pmatrix}

m_{11}& m_{12} &\cdots & m_{1q} \\

m_{21}& m_{22} &\cdots & m_{2q} \\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\

m_{q1}& m_{q2} &\cdots & m_{qq}
\end{pmatrix}
\qquad\text{et}\qquad

x= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ \vdots\\ p\end{pmatrix}

$$ un vecteur, et je cherche à démontrer que : $\quad x^TMx = x^TM^Tx,$
où $x^T$ veut dire transposé de $x$
Merci d'avance pour votre aide !

[Avec $\LaTeX$ c'est plus attrayant. ;-) AD]

Réponses

  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Quelle est la taille de la matrice $x^TMx$ ? Donc que se passe-t-il quand on prend sa transposée ?
  • seb58
    seb58
    Merci pour votre réponse !

    La taille est une matrice de taille 1 * 1 , il s'agit d'un nombre
  • OShine
    OShine
    A mon avis il y a une erreur d'énoncé c'est $p=q$.

    Sinon il suffit de calculer en utilisant les formules du produit matriciel.

    En prenant $p=q$ je trouve $\boxed{[x^T M x]_{11} = \displaystyle\sum_{l=1}^q \displaystyle\sum_{k=1}^q k \times l \times m_{kl}}$

    Puis $[x^T M^T x]_{11} = \displaystyle\sum_{l=1}^q \displaystyle\sum_{k=1}^q k \times l \times m_{lk}$

    Par symétrie, les 2 coefficients sont égaux.
  • i.zitoussi
    i.zitoussi
    OShine, il n'y avait pas de calcul à faire: la transposition est l'identité sur les matrices 1x1 (cf l'indice de Calli), et c'est vrai quel que soit $x$, pas seulement celui donné dans l'exo.
    Après je bloque.
  • Dom
    Dom
    On utilise tout de même : $(AB)^T=B^TA^T$.

    Ce qui nécessite une démonstration peut-être...
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